已知函数f(x)=sinx(x≥0),g(x)=ax(x≥0),其中a为实数.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/05 10:24:50
已知函数f(x)=sinx(x≥0),g(x)=ax(x≥0),其中a为实数.
1.若f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
2.当a=1时,求证:g(x)-f(x)≤(1/6)x³ (x≥0).
1.若f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
2.当a=1时,求证:g(x)-f(x)≤(1/6)x³ (x≥0).
(Ⅰ) 由题意可得:令h(x)=f(x)-g(x)=sinx-ax(x≥0),
所以h'(x)=cosx-a.
若a≥1,h'(x)=cosx-a≤0,
所以h(x)=sinx-ax在区间(-∞,0]上单调递减,即h(x)≤h(0)=0,
所以sinx≤ax(x≥0)成立.
若a<1,存在x0∈(0,π/2),使得cosx0=a,
所以x∈(0,x0),h'(x)=cosx-a>0,
所以h(x)=sinx-ax在区间(0,x0)上单调递增,
所以存在x使得h(x)>h(0)=0,即此时f(x)≤g(x)不恒成立,
所以a<1不符合题意舍去.
综上,a≥1.
(Ⅱ)由题意可得:a=1,所以g(x)=x(x≥0),
所以(x)-g(x)=sinx-x(x≥0),
所以原不等式等价于sinx-x-1/6x^3≤0(x≥0),
设H(x)=x-sinx-1/6x^3 (x≥0),所以H′(x)=1-cosx-1/2x^2.
令G(x)=1-cosx-1/2x^2,所以G'(x)=sinx-x,
所以G'(x)=sinx-x≤0(x≥0),
所以G(x)=1-cosx-1/2x^2在(0,+∞)上单调递减,
因此有:G(x)=1-cosx-1/2x^2≤G(0)=0,
即H′(x)=1-cosx-1/2x^2≤0,
所以H(x)=x-sinx-1/6x^3 (x≥0)单调递减,
所以H(x)=x-sinx-1/6x^3≤H(0)=0,
所以x-sinx-1/6x^3≤0(x≥0)恒成立,即x-sinx≤1/6x^3(x≥0).
所以h'(x)=cosx-a.
若a≥1,h'(x)=cosx-a≤0,
所以h(x)=sinx-ax在区间(-∞,0]上单调递减,即h(x)≤h(0)=0,
所以sinx≤ax(x≥0)成立.
若a<1,存在x0∈(0,π/2),使得cosx0=a,
所以x∈(0,x0),h'(x)=cosx-a>0,
所以h(x)=sinx-ax在区间(0,x0)上单调递增,
所以存在x使得h(x)>h(0)=0,即此时f(x)≤g(x)不恒成立,
所以a<1不符合题意舍去.
综上,a≥1.
(Ⅱ)由题意可得:a=1,所以g(x)=x(x≥0),
所以(x)-g(x)=sinx-x(x≥0),
所以原不等式等价于sinx-x-1/6x^3≤0(x≥0),
设H(x)=x-sinx-1/6x^3 (x≥0),所以H′(x)=1-cosx-1/2x^2.
令G(x)=1-cosx-1/2x^2,所以G'(x)=sinx-x,
所以G'(x)=sinx-x≤0(x≥0),
所以G(x)=1-cosx-1/2x^2在(0,+∞)上单调递减,
因此有:G(x)=1-cosx-1/2x^2≤G(0)=0,
即H′(x)=1-cosx-1/2x^2≤0,
所以H(x)=x-sinx-1/6x^3 (x≥0)单调递减,
所以H(x)=x-sinx-1/6x^3≤H(0)=0,
所以x-sinx-1/6x^3≤0(x≥0)恒成立,即x-sinx≤1/6x^3(x≥0).
已知函数f(x)=ax^2+bx+1(a,b为实数),x属于R,F(x)={f(x),x>0 -f(x),x
设函数f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax,其中a为实数.
已知函数f(x)=ax²+bx+1(a,b为实数),x∈R,F(x)={f(x) (x>0) ;-f(x) (
已知函数f(x)满足 af(x)+f(1/x)=ax (x为实数不为0,a为常数,且不等于1)求f(x)
已知函数f(x)=ex+ax,g(x)=ax-lnx,其中a≤0.
已知定义在区间[0,2]上的两个函数f(x)和g( x),其中f(x)=x2-2ax+4(a≥1),g(x)= 2x/x
已知函数f(x)=x²-2ax+1,g(x)=a/x,其中a>0,x≠0
已知定义在区间[0,1]上的两个函数f(x)和g( x),其中f(x)=x2-ax+2(a≥1),g(x)= -1/x+
已知定义在实数集上的函数f(x)=1/2x^2+2ax,g(x)=3a^2Inx+b,其中a大于0,设两曲线y=f(x)
已知函数f(x)=1/2ax^2+2x,g(x)=lnx.问是否存在实数a>0,使得方程Q(x)=g(x)╱x-f'(x
已知a,b是实数,函数f(x)=x^3+ax,g(x)=x^2+bx,f'(x)和g'(x)是f(x),g(x)的导函数
已知函数f(x)=e^x-ax-1(a为实数)