令n趋近于无穷大,且n存在,求sin(π/n)+sin(2π/n)+sin(3π/n)+...+sin(π)=?.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/10 05:27:16
令n趋近于无穷大,且n存在,求sin(π/n)+sin(2π/n)+sin(3π/n)+...+sin(π)=?.
是下面这个题吧:
Lim(n→∞) (1/n)[sin(π/n)+sin(2π/n)+…+sin(nπ/n)]
观察:可以看出,实际上就是将区间[0,1]分成n等分,对函数y=sinπx.在每个区间点上求面积,然后求和.
很明显,由定积分的定义可知:
这和定积分∫sinπxdx x从0到1是等价的
所以
Lim(n→∞) (1/n)[sin(π/n)+sin(2π/n)+…+sin(nπ/n)]=∫sinπxdx
=-1/πcosπx|0,1
=2/π
再问: 除了积分的方法还能用其他的方法解答么?比如说采用圆和球体来分析解答,谢谢!
Lim(n→∞) (1/n)[sin(π/n)+sin(2π/n)+…+sin(nπ/n)]
观察:可以看出,实际上就是将区间[0,1]分成n等分,对函数y=sinπx.在每个区间点上求面积,然后求和.
很明显,由定积分的定义可知:
这和定积分∫sinπxdx x从0到1是等价的
所以
Lim(n→∞) (1/n)[sin(π/n)+sin(2π/n)+…+sin(nπ/n)]=∫sinπxdx
=-1/πcosπx|0,1
=2/π
再问: 除了积分的方法还能用其他的方法解答么?比如说采用圆和球体来分析解答,谢谢!
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