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设a>0,b>0,对任意的实数x>1.有ax+x/x-1>b成立,试比较根号a+1和根号b的大小

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/17 02:04:46
设a>0,b>0,对任意的实数x>1.有ax+x/x-1>b成立,试比较根号a+1和根号b的大小
设a>0,b>0,对任意的实数x>1.有ax+x/x-1>b成立,试比较根号a+1和根号b的大小
ax+x/(x-1)>b
[a(x-1)+a]+[1+1/(x-1)]>b
a(x-1)+1/(x-1)>b-a-1
而a(x-1)+1/(x-1)≥2√a
(当且仅当a(x-1)=1/(x-1)即x-1=(√a)/a即x=1+(√a)/a时取等)
对任意的实数x>1,有ax+x/(x-1)>b成立
即对任意的实数x>1,有a(x-1)+1/(x-1)>b-a-1成立
所以a(x-1)+1/(x-1)的最小值大于b-a-1
所以2√a>b-a-1
a+2√a+1>b
(√a+1)^2>(√b)^2
√a+1>√