求极限 1/ln[x+√(1+x^2)]-1/ln(1+x)
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/08 10:36:12
求极限 1/ln[x+√(1+x^2)]-1/ln(1+x)
如图,尤其是使用洛比塔法则的部分.
如图,尤其是使用洛比塔法则的部分.
lim(x→0) 1/ln[x+√(1+x^2)]-1/ln(1+x)
=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{ln[x+√(1+x^2)]*ln(1+x)} (等价无穷小代换)
=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{x*ln[x+√(1+x^2)]}
=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{x*ln[1-1+x+√(1+x^2)]} (等价无穷小代换)
=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{x*[x+√(1+x^2)-1]}
=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{x^2+x√(1+x^2)-x} (0/0)
=lim(x→0) {1/(1+x)-1/[x+√(1+x^2)]*[1+x/√(1+x^2)]}/{2x+√(1+x^2)+x^2/√(1+x^2)-1}
=lim(x→0) {1/(1+x)-1/√(1+x^2)}/{2x+√(1+x^2)+x^2/√(1+x^2)-1}
=lim(x→0) {√(1+x^2)-(1+x)}/{2x*√(1+x^2)*(1+x)+√(1+x^2)*√(1+x^2)*(1+x)+x^2*(1+x)-√(1+x^2)*(1+x)}
=lim(x→0) {√(1+x^2)-(1+x)}/{2x*√(1+x^2)+(1+x^2)+x^2-√(1+x^2)} ((0/0)
=lim(x→0) {x/√(1+x^2)-1}/{2√(1+x^2)+2x^2/√(1+x^2)+4x-x/√(1+x^2)}
=lim(x→0) {x-√(1+x^2)}/{2(1+x^2)+2x^2+4x√(1+x^2)-x}
到这一步,看到分母为2,而分子为-1
因此极限为-1/2
再问: 其实原题里面2个分式的分母在x→0处都是x的等价无穷小,通分以后分母直接可以用x^2代替了。答案-1/2跟我做的一样。我一开始是用洛必塔求导的时候算错了一步,后来自己又做了一遍就做出来了。
再答: 你说的对,不过前一个等价无穷小我不知道,所以做了这么长
=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{ln[x+√(1+x^2)]*ln(1+x)} (等价无穷小代换)
=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{x*ln[x+√(1+x^2)]}
=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{x*ln[1-1+x+√(1+x^2)]} (等价无穷小代换)
=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{x*[x+√(1+x^2)-1]}
=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{x^2+x√(1+x^2)-x} (0/0)
=lim(x→0) {1/(1+x)-1/[x+√(1+x^2)]*[1+x/√(1+x^2)]}/{2x+√(1+x^2)+x^2/√(1+x^2)-1}
=lim(x→0) {1/(1+x)-1/√(1+x^2)}/{2x+√(1+x^2)+x^2/√(1+x^2)-1}
=lim(x→0) {√(1+x^2)-(1+x)}/{2x*√(1+x^2)*(1+x)+√(1+x^2)*√(1+x^2)*(1+x)+x^2*(1+x)-√(1+x^2)*(1+x)}
=lim(x→0) {√(1+x^2)-(1+x)}/{2x*√(1+x^2)+(1+x^2)+x^2-√(1+x^2)} ((0/0)
=lim(x→0) {x/√(1+x^2)-1}/{2√(1+x^2)+2x^2/√(1+x^2)+4x-x/√(1+x^2)}
=lim(x→0) {x-√(1+x^2)}/{2(1+x^2)+2x^2+4x√(1+x^2)-x}
到这一步,看到分母为2,而分子为-1
因此极限为-1/2
再问: 其实原题里面2个分式的分母在x→0处都是x的等价无穷小,通分以后分母直接可以用x^2代替了。答案-1/2跟我做的一样。我一开始是用洛必塔求导的时候算错了一步,后来自己又做了一遍就做出来了。
再答: 你说的对,不过前一个等价无穷小我不知道,所以做了这么长
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