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(1)设过M(1,1)的直线方程为:y-1=k(x-1), A,B两点的坐标为(x1,y1),(x2,y2), 则x12-2y12=4,x22-2y22=4, 相减可得,(x1-x2)(x1+x2)=2(y1-y2)(y1+y2) 由M为AB的中点,则x1+x2=2,y1+y2=2, 则k= y1-y2 x1-x2= 1 2, 即有直线AB的方程:y-1= 1 2(x-1),即有y= 1 2x+ 1 2, 代入双曲线方程x2-2y2=4,检验判别式大于0,成立, 则所求直线方程为:有y= 1 2x+ 1 2; (2)假设存在直线l,使N(1, 1 2)为l被双曲线所截弦的中点. 则设弦CD的C、D两点的坐标为(x3,y3),(x4,y4), 则x32-2y32=4,x42-2y42=4, 相减可得,(x3-x4)(x3+x4)=2(y3-y4)(y3+y4) 由N为CD的中点,则x3+x4=2,y3+y4=1, 则k= y3-y4 x3-x4=1, 则直线CD的方程为:y- 1 2=x-1,即y=x- 1 2, 代入双曲线方程x2-2y2=4,可得,x2-2x+ 9 4=0, 由于判别式为4-9<0,则该直线l不存在.
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