线性代数 正交变换 化为标准型问题
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/04 20:28:10
线性代数 正交变换 化为标准型问题
请问它是如何判断出 λ1 和 λ2 λ3 分别是什么的 还是λ1和λ2 λ3本身是可以换顺序的? 我的意思是为什么λ1是3而不是-1 或4
其次 取正交变换x=Py 那个过程 是用PAP^-1来算出λ的么? 其实也就是上一个问题 是如何确定的
以及 答案形式不一样 还有其他什么答案么 是顺序改变么
1、λ1,λ2,λ3 分别取值 3,-1,4
λ1可以是-1或4 。
这里要注意λ1取值不同,后面的计算特征向量ξ 1 就不一样了。
2、在正交变换下,A不仅和B合同,而且与B相似,即A,B特征值相同。
PTAP=B,AB合同, P-1AP=B,AB相似。
【评注】
掌握用正交变换化二次型为标准型的方法,标准型中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值,所用的正交变换矩阵是经过改造的二次型的特征向量,具体解题步骤如下:
1、写出二次型矩阵A
2、求矩阵A的特征值
3、求矩阵A的特征向量
4、改造特征向量(单位化、Schmidt正交化)γ1,...,γn
5、构造正交矩阵P=(γ1,γ2,...,γn)
则经过坐标变换x=Py,得
xTAx=yTBy = λ1y1²+λ2y2²+...+λnyn²
【注意】
特征值的顺序与正交矩阵P中对应的特征向量的顺序是一致的。
回答你的问题,当λ1,λ2,λ3取不同的值时,对应的特征向量ξ1,ξ2,ξ3就不同
得到的(ξ1,ξ2,ξ3)就不同,
例如 特征值3对应a特征向量,-1对应b,4对应c
如果λ1λ2λ3为 3 -1 4 特征向量就是(ξ1,ξ2,ξ3)=(a,b,c)
如果λ1λ2λ3为 4 3 -1 特征向量就是(ξ1,ξ2,ξ3)=(c,a,b)
那么经过改造得到的矩阵P也就不同,即向量位置顺序不同,所以P不唯一。
newmanhero 2015年2月1日11:16:04
希望对你有所帮助,望采纳。
λ1可以是-1或4 。
这里要注意λ1取值不同,后面的计算特征向量ξ 1 就不一样了。
2、在正交变换下,A不仅和B合同,而且与B相似,即A,B特征值相同。
PTAP=B,AB合同, P-1AP=B,AB相似。
【评注】
掌握用正交变换化二次型为标准型的方法,标准型中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值,所用的正交变换矩阵是经过改造的二次型的特征向量,具体解题步骤如下:
1、写出二次型矩阵A
2、求矩阵A的特征值
3、求矩阵A的特征向量
4、改造特征向量(单位化、Schmidt正交化)γ1,...,γn
5、构造正交矩阵P=(γ1,γ2,...,γn)
则经过坐标变换x=Py,得
xTAx=yTBy = λ1y1²+λ2y2²+...+λnyn²
【注意】
特征值的顺序与正交矩阵P中对应的特征向量的顺序是一致的。
回答你的问题,当λ1,λ2,λ3取不同的值时,对应的特征向量ξ1,ξ2,ξ3就不同
得到的(ξ1,ξ2,ξ3)就不同,
例如 特征值3对应a特征向量,-1对应b,4对应c
如果λ1λ2λ3为 3 -1 4 特征向量就是(ξ1,ξ2,ξ3)=(a,b,c)
如果λ1λ2λ3为 4 3 -1 特征向量就是(ξ1,ξ2,ξ3)=(c,a,b)
那么经过改造得到的矩阵P也就不同,即向量位置顺序不同,所以P不唯一。
newmanhero 2015年2月1日11:16:04
希望对你有所帮助,望采纳。
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