大师作文网线性代数 综合 线性表示 矩阵
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/24 10:23:30
线性代数 综合 线性表示 矩阵
例：设矩阵A=（α1 ,α2 ,α3 ,α4）是四阶矩阵,线性方程组AX=β的通解是 （1,-2,1,-1）T + k（1,3,2,0）T ,B=(α3 ,α2 ,α1 ,β + α4), γ = α1 -3α2 +5α3.
（Ⅰ）问α1能否由α2 ,α3线性表示；
（Ⅱ）问α4能否由α1 ,α2 ,α3线性表示；
（Ⅲ）求线性方程组BX= γ的通解.
(1) 是AX=0的基础解系,S=1,S=n-r（A） r（A）=3；又α1 +3α2+2α3 =0
α1=-3α2-2α3 ；故α1能由α2 ,α3线性表示.
(2) r（A）= r（α1 ,α2 ,α3 ,α4）=3 ,α1能由α2 ,α3线性表示.α2 ,α3 ,α4线性无关,
设α4 可由α1 ,α2 ,α3线性表示,而α1能由α2 ,α3线性表示,α4 可由α2 ,α3线性表示,
r（A）= r （α2 ,α3）=2 与已知条件r（A）=3矛盾,故α4不能由α1 ,α2 ,α3线性表示
(3) 线性方程组BX= γ的通解,
B=(α3,α2 ,α1 ,β + α4)
BX= γ (α3 ,α2 ,α1 ,β + α4)X=γ x1α3 +x2α2 +x3α1+x4（β + α4）=α1 -3α2 +5α3
A =β α1 -2α2+3α3 =β + α4
之后应该怎么去做啊?我只会做到这里了.
例：设矩阵A=（α1 ,α2 ,α3 ,α4）是四阶矩阵,线性方程组AX=β的通解是 （1,-2,1,-1）T + k（1,3,2,0）T ,B=(α3 ,α2 ,α1 ,β + α4), γ = α1 -3α2 +5α3.
（Ⅰ）问α1能否由α2 ,α3线性表示；
（Ⅱ）问α4能否由α1 ,α2 ,α3线性表示；
（Ⅲ）求线性方程组BX= γ的通解.
(1) 是AX=0的基础解系,S=1,S=n-r（A） r（A）=3；又α1 +3α2+2α3 =0
α1=-3α2-2α3 ；故α1能由α2 ,α3线性表示.
(2) r（A）= r（α1 ,α2 ,α3 ,α4）=3 ,α1能由α2 ,α3线性表示.α2 ,α3 ,α4线性无关,
设α4 可由α1 ,α2 ,α3线性表示,而α1能由α2 ,α3线性表示,α4 可由α2 ,α3线性表示,
r（A）= r （α2 ,α3）=2 与已知条件r（A）=3矛盾,故α4不能由α1 ,α2 ,α3线性表示
(3) 线性方程组BX= γ的通解,
B=(α3,α2 ,α1 ,β + α4)
BX= γ (α3 ,α2 ,α1 ,β + α4)X=γ x1α3 +x2α2 +x3α1+x4（β + α4）=α1 -3α2 +5α3
A =β α1 -2α2+3α3 =β + α4
之后应该怎么去做啊?我只会做到这里了.
β满足特解于是α1-2α2+α3-α4=β,代入B的第四列,得B={α3,α2,α1,α1-2α2+α3},由于r（B）=2（α1和第四列都和α2,α3线性相关）,所以通解必然是k1+（,）+k2（,）T+（,）的形式（当然解答这样写是不行的）,分别BX=0的通解两个和一个BX=γ的特解组合.线代快忘光了,看下对否
再问： 分别BX=0的通解两个 怎么做的 没有思路啊 愁啊 能详细点么。。谢谢了
再答： 我习惯是把B中的每一列化成α2和α3表示，然后用前两列（α3和α2）的两列表示后面两列，一个解是（，，1，0）另一个是（，，0，1）。（前面的α2和α3的系数自己算啦~），只要保证这两个解不线性相关就行了，保证线性不相关的方法中0,1互换赋值法是很常用的。
再问： 谢谢你，我一会仔细观察下，如果还是有不懂的还要向您请教。
再答： 我大学刚毕业，最多比你大一岁，不用说这么客气。
再问： BX= γ的特解 这个我做不出来了，能帮一下么，答案给的是 特解（7,0,2,0）通解我做出来了（1，-2,1，-1）和（2,3,1,0）
再问： 分别BX=0的通解两个 怎么做的 没有思路啊 愁啊 能详细点么。。谢谢了
再答： 我习惯是把B中的每一列化成α2和α3表示，然后用前两列（α3和α2）的两列表示后面两列，一个解是（，，1，0）另一个是（，，0，1）。（前面的α2和α3的系数自己算啦~），只要保证这两个解不线性相关就行了，保证线性不相关的方法中0,1互换赋值法是很常用的。
再问： 谢谢你，我一会仔细观察下，如果还是有不懂的还要向您请教。
再答： 我大学刚毕业，最多比你大一岁，不用说这么客气。
再问： BX= γ的特解 这个我做不出来了，能帮一下么，答案给的是 特解（7,0,2,0）通解我做出来了（1，-2,1，-1）和（2,3,1,0）