设y=arcsinx,证明:(1-x^2)y"-xy'=0,并求y^(n)(0)
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/21 23:26:08
设y=arcsinx,证明:(1-x^2)y"-xy'=0,并求y^(n)(0)
设y=arcsinx,证明:(1-x^2)y"-xy'=0,并求y^(n)(0)
【说明】我将y^(n)(0)认为是函数y=arcsinx的n阶导数在x=0时的值,下面所有叙述中^均表示高阶导数.
【解】先求y=arcsinx的一阶导数
y'=1/根号(1-x的平方)
再求y=arcsinx的二阶导数
y"=x/二分之三次根(1-x的平方)
将上述两式代入(1-x的平方)y"-xy'中,容易得出:(1-x的平方)y"-xy'=0
第二问较麻烦
利用上面证明得到的:(1-x的平方)y"-xy'=0,使用莱布尼兹公式
(1-x的平方)y^(n+2)-2nxy^(n+1)-n(n-1)y^n-xy^(n+1)-ny^n=0【式中^表示高阶导数】
因为你求的是x=0时的高阶导数,将x=0代入上式,得:
y^(n+2)-n(n-1)y^n-ny^n=0
去括号等简单运算:y^(n+2)=n的平方倍y^n
由于当x=0时:y'=1,y"=0
所以:当 n为偶数时,y^(n)(0)=0
当n为奇数时,y^(n)(0)=(n-1)的平方y^(n-1)(0)
=(n-1)的平方(n-3)的平方y^(n-3)(0)
=……
=(1*3*5*…… n)的平方
【OK】
【说明】我将y^(n)(0)认为是函数y=arcsinx的n阶导数在x=0时的值,下面所有叙述中^均表示高阶导数.
【解】先求y=arcsinx的一阶导数
y'=1/根号(1-x的平方)
再求y=arcsinx的二阶导数
y"=x/二分之三次根(1-x的平方)
将上述两式代入(1-x的平方)y"-xy'中,容易得出:(1-x的平方)y"-xy'=0
第二问较麻烦
利用上面证明得到的:(1-x的平方)y"-xy'=0,使用莱布尼兹公式
(1-x的平方)y^(n+2)-2nxy^(n+1)-n(n-1)y^n-xy^(n+1)-ny^n=0【式中^表示高阶导数】
因为你求的是x=0时的高阶导数,将x=0代入上式,得:
y^(n+2)-n(n-1)y^n-ny^n=0
去括号等简单运算:y^(n+2)=n的平方倍y^n
由于当x=0时:y'=1,y"=0
所以:当 n为偶数时,y^(n)(0)=0
当n为奇数时,y^(n)(0)=(n-1)的平方y^(n-1)(0)
=(n-1)的平方(n-3)的平方y^(n-3)(0)
=……
=(1*3*5*…… n)的平方
【OK】
设y=arcsinx,求y对x=0的N阶导数
设随机变量X与Y相互独立,N(1,2),(0,1),求随机变量Z=X-Y的分布,并求P(X>Y )的概率
设x,y属于(0,正无穷),且xy-(x+y)=1,求x+y的最小值
设y=ln(1+x),求y^(n)
设函数y=y(x)由方程e^y+xy=e所确定,求y’(0)
已知y=(arcsinx)^2, 试证(1-X^2)*y的(n+1)阶导数-(2n-1)*x*y的(n)阶导数-(n-1
用泰勒公式求高阶导数设y=arcsinx,(n)求 y (0);(当x=0时,y的n阶导数)
已知X、Y分别服从正态分布N(0,9)和N(1,16),且X与Y的相关系数ρXY=-1/2,设Z=X/3+Y/2,求
已知随机变量X~N(1,3^2),Y~N(0,4^2).且X和Y的相关系数ρxy= -1/2,设Z=X/3-Y/2,求D
设方程xy-e^x+e^y=0确实了函数y(x),求y’ 求过程
设随机变量X~N(0,1),Y=X²,求Y的概率密度.
设集合M={(x,y)x方=y方=1,x,y属于R}N={(x,y)x方-y、0,xy属于R}则集合M交N中元素的个数