求x^2y'+2xy=sinx的通解

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/17 20:08:45

求x^2y'+2xy=sinx的通解

求x²y'+2xy=sinx的通解先求齐次方程x²y'+2xy=0的通
分离变量得dy/y=-(2/x)dx；
积分之,得lny=-2lnx+lnC₁=ln(C₁x⁻²)故得y=C₁x⁻²；
将C₁换成x的函数u,得y=ux⁻².(1)
将(1)的两边对x取导数得y'=(du/dx)x⁻²-2ux⁻³.(2)
将(1)和(2)代入原式得：x²[(du/dx)x⁻²-2ux⁻³]+2x(ux⁻²)=sinx
化简得 du/dx=sinx,故得du=sinxdx,∴u=-cosx+C；
代入(1)式即得原方程的通解为：y=(C-cosx)/x².

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