如图,已知PA垂直面ABC,AB垂直BC,若PA=AC=2,AB=1,求二面角A-PC-B的正弦值

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/14 00:24:55

如图,已知PA垂直面ABC,AB垂直BC,若PA=AC=2,AB=1,求二面角A-PC-B的正弦值
下午最好出来,

∵△PAC是等腰RT△,
∴PA=AC=2,PC=2√2,
∵PA⊥平面ABC,AB∈平面ABC,
∴PA⊥AB,
∴△PAB是RT△,PB=√5 ,
∵△ABC是RT△,
BC=√3,
∵PA⊥平面ABC,PA∈平面PAC,
∴平面PAC⊥平面ABC,
从B作BH⊥AC,垂足H,连结PH,则BH⊥平面PAC,
△PHC是△PBC在平面PAC上的投影,
设二面角A-PC-B平面角为θ
S△PHC=S△PBC*cosθ,
在RT△ABC中,
AB^2=AH*AC,(RT△直角边是其在斜边的射影和斜边的比例中项）,
AH=1/2,CH=3/2,
S△PHC=CH*PA/2=3/2,
BC⊥AB,根据三垂线定理,
BC⊥PB,
△PBC是RT△,
S△PBC=PB*BC/2=√5*√3/2=√15/2,
cosθ=S△PHC/S△PBC=（3/2）/（√15/2）=√15/5,
∴sinθ=√[1-{cosθ)^2]=√10/5.
二面角A-PC-B的正弦值√10/5.
再问：谢谢，不过没太看懂，能简单点吗？
再答：你自己画一张图，一个三角形在一平面上投影的面积等于它本身面积乘以其二面角余弦值。我是介绍得太详细了，没有发一张图给你。

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