高等数学高斯公式的运用!如图,答案算的多少?我想对一下答案而已

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/09/24 14:22:46

答案应该是-4π
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补上平面∑1：z=1的下侧,应用高斯公式,得到-∫∫∫[3(x-1)^2+3(y-1)^2+1]dxdydz=-4π.再减去∑1上的积分,积分是0.
再问：计算（-∫∫∫[3(x-1)^2+3(y-1)^2+1]dxdydz），我用了坐标变换，设X=x-1，Y=y-1，Z=z，因此dX=dx，dY=dy，dZ=dz，然后再用柱坐标算，为什么结果和你不同的？？
再答：区域不也变吗？
再问：什么区域？？
再答：变换后，三重积分的积分区域不也应该变化，被积函数简单了，区域却复杂了。
再问：但-∫∫∫[3(x-1)^2+3(y-1)^2+1]dxdydz 用柱坐标求不也很麻烦吗？？
再答：可以先化简啊，根据区域的对称性，其中的x的积分，y的积分都是0，最后只剩下3(x^2+y^2)+7的积分，即使直接用柱面坐标，也没那么复杂
再问：但是旋转抛物面关于xoz面对称，但是对于y而言[3(x-1)^2+3(y-1)^2+1
又不是奇函数，怎么会是0呢？
再答：哎，把被积函数展开，其中的-6y不是奇函数嘛
再问：对哦！先展开再换成柱坐标会方便点，但是z=1的平面积分也不可能为0啊。我知道这时候只要求(z-1)dxdy 把z=x^2+y^2代入进去，然后用柱坐标，角度是0-2派半径r是0-1 但是高度z的范围是r^2-1呀，怎么算都不等于0
再答：平面z=1的曲面积分与z=x^2+y^2有何关系？不代入z=1，代入z=x^2+y^2是为何？
再问：对哦，我补的是z=1的平面，应该代入z=1的，那我现在懂了，谢谢啦！这么晚还耐心给我解答！谢谢*^O^*

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