一个公差不为0的等差数列{an},首项为1,其第1、4、16项分别为正项等比数列{bn},的第1、3、5项.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/27 08:18:39
一个公差不为0的等差数列{an},首项为1,其第1、4、16项分别为正项等比数列{bn},的第1、3、5项.
(1)求数列{an},与{bn}的通项公式;
(2)记数列{an},与{bn}的前n项和分别为Sn与Tn,试求正整数m,使得Sm=T12;
(3)求证:数列{bn}中任意三项都不能构成等差数列.
(1)求数列{an},与{bn}的通项公式;
(2)记数列{an},与{bn}的前n项和分别为Sn与Tn,试求正整数m,使得Sm=T12;
(3)求证:数列{bn}中任意三项都不能构成等差数列.
(1)设数列{an}的公差为d,∴a4=a1+3d,a16=a1+15d
又b1=a1,b3=a4,b5=a16∴b32=b1b5
∴(a1+3d)2=a1(a1+15d),∴9a1d=9d2.∵d≠0,a1=d.
∴d=1,an=n.
又{bn}的公比为q,∴q2=
b3
b1=
a4
a1=4,而bn>0,∴q>0,∴q=2,
∴b=2n-1.
(2)∵Sm=
m(m+1)
2,Tn=20+21+22+…+2n-1=2n-1
由Sm=T12,∴
m(m+1)
2=212-1,∴m2+m-8190=0.
∴m=90,m=-91(舍),∴m=90.
(3)反证法:假设{bn}中存在三项bi,bj,bk(i<j<k)组成等差数列,∴2bj=bi+bk
∴2×2j-1=2i-1+2k-1,(※)∵i<j<k,∴j-i∈N*,k-i∈N*
∴2j-i+1=2k-i+1.∵2j-i+1是偶数,2k-i+1是奇数,∴等式(※)不成立.∴反设不真.
∴{bn}中不存在三项构成等差数列.
又b1=a1,b3=a4,b5=a16∴b32=b1b5
∴(a1+3d)2=a1(a1+15d),∴9a1d=9d2.∵d≠0,a1=d.
∴d=1,an=n.
又{bn}的公比为q,∴q2=
b3
b1=
a4
a1=4,而bn>0,∴q>0,∴q=2,
∴b=2n-1.
(2)∵Sm=
m(m+1)
2,Tn=20+21+22+…+2n-1=2n-1
由Sm=T12,∴
m(m+1)
2=212-1,∴m2+m-8190=0.
∴m=90,m=-91(舍),∴m=90.
(3)反证法:假设{bn}中存在三项bi,bj,bk(i<j<k)组成等差数列,∴2bj=bi+bk
∴2×2j-1=2i-1+2k-1,(※)∵i<j<k,∴j-i∈N*,k-i∈N*
∴2j-i+1=2k-i+1.∵2j-i+1是偶数,2k-i+1是奇数,∴等式(※)不成立.∴反设不真.
∴{bn}中不存在三项构成等差数列.
已知等差数列的首项为a1=1公差d>0第2,5,14分别为等比数列bn的2,3,4项
一个首项为4,且公差不为0的等差数列,其第1项、第7项、第10项刚好是一个等比数列的前三项,求这等比数列...
已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第2项,第5项,第14项分别是等比数列{bn}的第2项,第3项,第4项
已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第2项,第5项,第14项分别是等比数列{bn}
等差数列{An}是公差不为0的等差数列,且第7项,第10项,第15项,是等比数列{Bn}的连续三项,B1=3,求Bn=_
已知等差数列An的首项a1=1,公差d>0,且第二项,第五项,第十四项分别为等比数列Bn的第二项,第三项,第四项
已知{an}是公差为1的等差数列,{bn}是公比为2的等比数列,Sn,Tn分别是{an},{bn}的前n项和
等差数列{an}首项为1,公差为1,等比数列[bn}首项为2,公比为2,求{an+bn}的前n项和Sn
已知等差数列{an}的首项为a1=1,公差d不为0,等比数列{bn}满足b2=a2,b3=a5,b4=a14
an}{bn}都是公差为1的等差数列,其首项分别为a1b1,且a1+b1=5 a1b1属于N+.C(n)=A(bn)求{
已知{an}是首项为1,公差为d的等差数列,其前n项和为An,{bn}是首项为1,公比为q的等比数列,其前n项和为Bn,
设数列an是公差不为0的等差数列,Sn为其前n项和,数列bn为等比数列,且