有谁知到RLC串联和并联电路的相频特性及幅频特性的定义

有谁知到RLC串联和并联电路的相频特性及幅频特性的定义

重点： 1． 网络函数及其相关的基本概念. 2． 了解网络函数的零、极点分布对时域响应（冲激响应）的影响. 难点： 1. 了解网络函数的零、极点分布对频域响应（频率特性）的影响. 2. 从网络函数的角度重新理解滤波器. 3. 了解双二次函数对应的滤波特性 相关知识的复习 我们知道冲激响应即为电路的零输入响应,它与激励无关,体现电路本身的特性,而且任意电路的冲激响应容易通过实验得出.是否可以通过电路的冲激响应与输入信号本身的某种简单的计算,直接得出电路的响应呢?设电路的冲激响应为 激励 响应 激励为冲激函数 时： 激励延时的冲激函数 时： 冲激函数的强度为 时： 两边同时积分： 变化时,如果将对应于所有 值的上述激励之和作为网络的输入,根据叠加定理,输出即为上述响应之和 即： 如果 对应的拉氏象函数为 , 对应的拉氏象函数为 , 对应的拉氏象函数为 ,根据拉氏变换的性质： ,则： ,那么： 14.1 网络函数简介一、网络函数 电路在单一激励作用下,其零状态响应 的象函数 与激励 的象函数 之比,定义为该电路的网络函数 ,即： 二、网络函数的性质 根据定义,当 时, ,也就是说,当激励的象函数为1时,响应的象函数就正好等于网络函数.而当 时, ,可见网络函数正好就是网络的单位冲激响应的象函数. 对仅含R、L（M）、C及受控源等元件的网络,网络函数为s的实系数有理函数,其分子、分母的根可以为实数或者共轭复数.网络函数中不会出现激励的象函数. 三、种类 根据激励性质的不同——电压源或者电流源,响应选取的不同——任意两点的电压或者电流,可以将网络函数分为 激励 响应 电压源 电流源 同一支路电压 --------- 策动点阻抗 同一支路电流 策动点导纳 --------- 不同支路电压 电压转移比 转移阻抗 不同支路电流 转移导纳 转移电流比 例题1：已知低通滤波器如图（a）,求其转移导纳 首先根据时域电路绘出其运算电路（s域模型）如图（b）. 1）转移导纳.根据网孔法： 解出： 因此,转移导纳为 2）转移电压比.节点1的电位为： ,而： 所以,转移电压比 例题2 在图所示的由独立电流源i驱动的 并联电路中,设电容初始状态为零,试求以电压u为响应的网络函数. 因为电压 是零状态响应,如果 及 分别为 及 的拉氏变换,则所求的网络函数为驱动点阻抗. 因为 并联电路的驱动点导纳是 ,于是有 因此 例题3 如图所示电路.求网络的转移阻抗 . 由分流关系可得： 而 所以 例题4 如图所示的运放电路中,已知 , 及 .求网络的电压转移函数 . 题中所示电路的运算电路见图(b).其节点电压方程是： 由于题中的运放为理想运放,因此： 将 代入节点方程,得到待求的网络函数为： 代入给出的元件参数即可. 14.2 网络函数的零极点 14.2.1 零极点的定义 网络函数 的分子分母均为关于s的多项式,将之改写为因子相乘的形式 其中,H 0 为常数, 、 、…、 是 的根, 、 、…、 是 的根. 当 时, ,故称 、 、…、 为网络函数的零点；当 时, , 将趋近于无限大,所以称 、 、…、 为网络函数的极点.从前面所学的知识可知, 的零极点为实数或共轭的复数. 14.2.2 零极图 以s的实部为横轴,虚部为纵轴的坐标平面为复频率平面（复平面——s平面）,在该平面中分别用“O”和“��”表示出零、极点的位置,这就是 的零极图. 如： 所以该网络函数对应两个零点： , ；三个极点： , , . 网络函数的零极图为： 14.3极点与冲激响应 14.3.1极点 极点决定电路的冲激响应的变化规律. 一般情况下, 的特性就是时域响应中自由分量的特性,而 又为网络函数所对应的时间函数,所以网络冲激响应的性质就取决于网络函数的极点在复频率平面上的位置.为了简化说明,我们假设网络函数为真分式,且仅含一阶极点.据此,我们来讨论极点在复频率平面上的位置与冲激响应之间的关系. (1) 极点位于原点,即 ,则冲激响应对应的特性为阶跃函数. (2) 极点位于左半实轴,即, ,则冲激响应按指数规律衰减.极点距原点越远,衰减越快. (3) 极点位于右半实轴,即, ,则冲激响应按指数规律增长.极点距原点越远,增长越快. (4) 极点位于虚轴上,即 ,虚极点成对出现（共轭虚数）,则冲激响应为不衰减的自由振荡,即按照正弦规律变化.极点距原点越远,振荡频率越高. (5) 极点位于左半平面但不包括实轴,即, ,复数极点成对出现,则冲激响应为振幅按指数规律衰减的自由振荡.极点距虚轴越远,衰减越快；距实轴越远,振荡频率越高. (6) 极点位于右半平面但不包括实轴,即, ,复数极点成对出现,则冲激响应为振幅按指数增长的自由振荡.极点距虚轴越远．增长越快；距实轴越远,振荡频率越高. 对上述各种情况可做进一步概括.当极点位于复频率平面的左半平面时,对应特性随时间的增加而减小,最后衰减为零,这样的暂态过程是稳定的；反之,当极点位于右半平面时,对应特性随着时间增加而发散,这样的暂态过程是不稳定的,这样的网络受到一个冲激作用后,响应会越来越大；当极点位于虚轴上时,属于临界稳定；另外,当极点位于实轴上时,响应是非振荡的,否则均为振荡的暂态过程. 其情况如下图 14.3.2 零点 以无重根为例,当 ,与之对应的冲激响应为 而其中的系数 则与零点有关.可见零点与极点一起共同决定冲激响应中的每一项的量值. 例题：求图13.8(a)所示电路的网络函数 ,以及其零极点图,并根据极点位置定性说明响应的特性. 由电路可见,该电路为一个平衡的交流电桥,因此,1W电阻两端电压为零,所以电路对应的复频域模型如图13.8(b)所示 待求的网络函数为： 分别令 的分子与分母多项式为零,可以得到网络函数的零极点分别为： ； , . 网络函数的零极点图如图13.8(c)所示,由此可定性地得到网络的冲激响应为正弦响应,如图13.8(d)所示. 14.4极点与频率响应 14.4.1 频率响应 将网络函数 中的 用 代替,即得 ,研究 由 变化时,网络函数的变化情况,可以得到相应电路变量的正弦稳态响应随着频率 变化的特性. 式中 为网络函数的模值,而 为网络函数的相位. 1．幅频特性 通常把 随着 变化的关系称为幅值频率响应,简称幅频特性,在以频率为横轴, 为纵轴的平面上所绘出的曲线称为相应响应的幅频特性曲线. 2．相频特性 将 随着 变化的关系称为相位频率特性,简称相频特性,在以频率为横轴, 为纵轴的平面上所绘出的曲线称为相应响应的相频特性曲线. 14.4.2 极点与频率响应 由于 实际上是 的一种特例,因此,可以推论 的零极点与相应电路变量的频率响应之间具有密切的关系.根据网络函数的表达式： （13-8） 有： （13-9） 这样,我们就可以根据网络函数的零、极点,直接计算网络的频率响应,当然,也可以根据零极点在复平面中的位置,直观地看出零极点对电路频率响应的影响.我们用以下的例子加以说明. 例13-7 如图13.9(a)所示的RC并联电路,试定性地绘制出以电压为输出变量时,该电路的频率响应. 以输出电压u为电路变量的网络函数为 该网络函数 极点为 . 令 ,有： 由此可得： （13-10） 由上式可见,随着 的增加, 将单调地减少.在直流情况下, ；在高频情况下, .而随着 的增加, 将单调地减小,当 时, .频率响应示于图13.9(b). 下面,让我们从零极点在复平面上的位置来研究如何得到上述结论.在图13.9(c)中,极点位于实轴上的 处,复数 代表一个向量,其顶点在 处,而其起点则在极点处.因此 代表这个向量的长度,而 代表向量和实轴正方向的交角.由式(13-11),有 显然,在 处, , ；当 处, , ；在 处,向量 与实轴的交角为 .即：当 时 所以,当向量的顶点沿 移动时,向量长度 和向量交角 就会随之改变（如图13.9(c)所示 , , ）,从而可得到如图13.9(b)所示的 的幅频特性曲线和相频特性曲线. 14.5从网络函数看滤波器分析 14.5.1 滤波器简介一、滤波器 我们已经研究了零极点跟频率响应的关系,由网络的幅频特性可见,对于由电阻、电容、电感等组成的不同形式的网络,它们可以让某些频率信号顺利通过,而让另一些频率的信号被抑制掉,这种网络我们称为滤波器. 二、分类 滤波器按照其组成元件的性质可以分为有源滤波器和无源滤波器.如果滤波器由电阻、电容、电感等无源元件构成,则称为无源滤波器；如果滤波器中含有晶体管、运算放大器等有源元件时,称为有源滤波器. 滤波器按其功能可以分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器和全通滤波器.它们的理想特性可分别如图中的(a)、(b)、(c)、(d)、(e)所示.这些理想特性在工程中仅能近似实现,比如在上一节的例题13-17的RC并联电路,从得到的幅频特性可见其具有低通特性,在工程中,我们称其中的 为低通滤波器的截止频率,而定义低通滤波器从0到 的频率范围为其通频带. 在滤波器理论中, 是一类特别重要的网络函数,称为双二次函数,它可以作为多种滤波器的积木块,也就是说,可以用这些双二次函数对应的单元电路进行链接,构成复杂的滤波电路. 本节将针对双二次函数几种典型的系数情况,主要对高通、低通及带通三种对应的滤波情况进行分析. 14.5.2 低通滤波器一、条件 当 ,即： ,且极点位于复平面的左半平面时,网络为二阶低通特性. 二、分析 令 , ,同时 ,设 ,则 （13-11a） 其中 （13-11b） 则其幅频特性 及相频特性 分别为： （13-11c） （13-11d） 的零极点图及幅频特性、相频特性曲线分别如图（a）、（b）、（c）所示.其中K称为增益系数,Q称为滤波电路的品质因数,其大小决定了在频率为 处幅频特性曲线的尖锐程度,Q越大,曲线越尖锐. 三、无源实现 电路如图所示. 其电压转移函数为： （13-12a） 令： , ,且 ,即： 时 （13-12b） 可见,其网络函数形式（见式13-12a）与式（13-11a）相同,而其幅频特性及相频特性与前图基本相同,只是其幅频特性中的 . 四、有源实现 看图示的有源网络,其中的运算放大器增益为K,且运算放大器的输入电流为零. 对a、b两节点列写节点方程,有 解之,可得 因此电压转移函数为： （13-13） 将式（13-13）与无源网络得到的电压转移函数式（13-12a）比较,如果选择 , ,则两式只相差一个常数因子K,而式（13-13）的形式与式（13-11a）完全相同,因此其零极点图、幅频特性及相频特性曲线即如图所示. 14.5.3 高通滤波器一、条件 当 ,即 ,且极点位于复平面的左半平面时,网络函数对应二阶高通特性. 二、分析 与低通滤波特性的分析类似,令 , ,同时 ,设 ,则 （13-14a） 其中 （13-14b） 则其幅频特性 及相频特性 分别为： （13-14c） （13-14d） 的零极点图及幅频特性、相频特性曲线分别如（a）、（b）、（c）所示. 三、无源实现 考察电路如图所示,令： , ,且 ,即： 时,其电压转移函数为： （13-15） 可见,其网络函数形式与式（13-14a）相同,而其幅频特性及相频特性如图13.14所示. 四、有源实现 下面我们再来看看图示的有源网络,其中的运算放大器增益为K,且运算放大器的输入电流为零. 其电压转移函数为： （13-16） 将式（13-16）与无源网络得到的电压转移函数式（13-15）比较,如果选择 , ,则两式只相差一个常数因子K,而式（13-16）的形式与式（13-14a）完全相同,因此其零极点图、幅频特性及相频特性曲线即如图所示. 14.5.4 带通滤波器一、条件 当 ,即 ,极点位于复平面的左半平面时,网络函数对应二阶带通特性. 二、分析 与前面分析类似,令 , ,同时 ,设 ,则 （13-17a） 其中 （13-17b） 则其幅频特性 及相频特性 分别为： （13-17c） （13-17d） 的零极点图及幅频特性、相频特性曲线分别如图（a）、（b）、（c）所示. 三、无源实现 考察电路如图所示,令： , ,且 ,即： 时,其电压转移函数为： （13-18） 可见,其网络函数形式与式（13-17a）相同,而其幅频特性及相频特性如图13.17所示. 四、有源实现 下面我们再来看看图示的有源网络,其中的运算放大器增益为K,且运算放大器的输入电流为零. 其电压转移函数为： （13-19） 将式（13-19）与图13.18中的无源网络得到的电压转移函数式（13-8）比较,如果选择 , ,则两式只相差一个常数因子 ,而式（13-19）的形式与式（13-17a）完全相同,因此其零极点图、幅频特性及相频特性曲线即如图13.17所示 五、说明 总之,从以上分析可见,无源滤波器的幅值增益不能超过1,且在实际制作时常常使用成本较高且不易集成的电感元件,能够提供的频带范围也很窄,一般在300Hz~300kHz范围内.而有源滤波器克服了无源滤波器的重要缺点.它体积小,易于集成,成本较低,而且能够在无源滤波器提供的相同频带范围内,实现不同增益的滤波特性.同时,它可以通过电压跟随器实现滤波器与前级电源及后级负载之间的隔离,使得滤波器的特性免受电源及负载波动的影响,这样的隔离也有利于系统设计者可以相对独立低考虑各级电路的设计,然后通过各级电路的级联来完成所需的传递函数.