关于线性变换,一一对应,映射的证明题
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/02 20:24:09
关于线性变换,一一对应,映射的证明题
证明:设有一个线性变换T,这个T会把任意一个线性无关的向量x,x属于U,变换之后对应到另一个线性无关的向量y,y属于V.那么我们说T必须是1-1(单射)
证明:设有一个线性变换T,这个T会把任意一个线性张成的向量x,x属于U,变换之后对应到另一个线性张成的向量y,y属于V.那么我们说T必须是映成(满射?)
证明:设有一个线性变换T,这个T会把任意一个线性无关的向量x,x属于U,变换之后对应到另一个线性无关的向量y,y属于V.那么我们说T必须是1-1(单射)
证明:设有一个线性变换T,这个T会把任意一个线性张成的向量x,x属于U,变换之后对应到另一个线性张成的向量y,y属于V.那么我们说T必须是映成(满射?)
(1) 设a,b属于U,且 T(a)=T(b).
假如 a≠b,则 a-b≠0,故非零向量 a-b 线性无关
由已知条件 T(a-b) 也线性无关
即有 T(a-b)=T(a)-T(b)≠0
这与T(a)=T(b)矛盾
所以必有a=b.故T是单射.
(2) 设a1,...,as 是U的一组生成元
由已知 T(a1),...,T(as) 是V的一组生成元.
所以对V中任一元b,有
b=k1T(a1)+...+ksT(as)=T(k1a1+...+ksas)
所以b有原像k1a1+...+ksas.
所以T是满射.
假如 a≠b,则 a-b≠0,故非零向量 a-b 线性无关
由已知条件 T(a-b) 也线性无关
即有 T(a-b)=T(a)-T(b)≠0
这与T(a)=T(b)矛盾
所以必有a=b.故T是单射.
(2) 设a1,...,as 是U的一组生成元
由已知 T(a1),...,T(as) 是V的一组生成元.
所以对V中任一元b,有
b=k1T(a1)+...+ksT(as)=T(k1a1+...+ksas)
所以b有原像k1a1+...+ksas.
所以T是满射.
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