6阶非Abel群的2阶子群共有( )个,3阶子群共有( )个,4阶子群共有( )个.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/08 03:33:34
6阶非Abel群的2阶子群共有( )个,3阶子群共有( )个,4阶子群共有( )个.
经过很久尝试终于得到结果了.
结论是:6阶非Abel群的2阶子群共有(3 )个,3阶子群共有( 1)个,4阶子群共有(0 )个.
首先,由拉格朗日定理知道6阶非Abel群的4阶子群个数为零,因为6不能整除4.
然后可以找到3阶置换群S3={(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)},它是6阶非Abel群,
其中二阶子群为{(1),(1 2)},{(1),(1 3)}{(1),(2 3)},三阶子群为{(1),(1 3 2),(1 2 3)}
你可以验证一下满足题意和结论.
那么关键是讨论出了S3以外是否还有其他群满足.
我们以三阶子群作为分类.
1、三阶子群个数为0;2、三阶子群个数为1(这个是上面的情况);3、三阶子群个数为2.
三阶子群个数为3或3以上的,很明显构造不出来,因为除去单位元1之外,至少还要6个元素,此时阶数为7,不是阶非Abel群.所以关于6阶非Abel群的子群问题只有上述三种情况分类.
最后,证明分类1,3不满足题意.
对于分类1:可设其为A={1,a,b,c,d,e}.因为没有三阶群,故出去1之外,其他元素的阶均为2,所以A的子群为{1,a}{1,b}{1,c}{1,e}{1,f}.因为元素的阶为2,所以a^2=1,即a=a^(-1),所以元素的逆即为自己.同样的可以讨论其他元素.
为了保证群中乘法的封闭性,我们假设ab=c(推理可知ab不能等于1,ab不能等于a,ab不能等于b,所以ab的值只能为c,d,e,f中的一个,取c),那么c^2=1=(ab)^2,所以有ab=(ab)^(-1),而b^2=a^2=1,可知(ab)(ba)=a(bb)a=aa=1,所以(ab)^(-1)=ba.这样我们就有ab=ba.对于其他元素我们也可以这样讨论,那么可发现这个群地所有元素可交换,此时该群为Abel群,与题目假设矛盾.
对于分类2:可设其为A={1,a,b,c,d,e}.因为三阶子群个数为2,可得到出去{1}的子群为
{1,a,b}{1,c,d}{1,e},此时a,b,c,d的阶为3,e的阶为2,且a^2=b,b^2=a,c^2=d,d^2=c,e^2=1,于是ab=ba=cd=dc=1(这一步你自己要好好想想,原因写起来太麻烦).那么ab=a*a^2=1=ba=a^2*a,即ab=ba.同样有cd=dc.
现在考虑ac=?
若ac=b,b(ac)=b*b=a,(ba)c=1*c=c,但是b(ac)=(ba)c,a!=c,矛盾,故ac!=b;
若ac=d,(ac)d=d^2=c,a(cd)=a*1=a,矛盾,故ac!=d
所以ac=e,同理有ca=cb=bc=da=ad=db=bd=e.
现在考虑ae=?
ae=a,ae=e显然是不可能的.
若ae=b,(ae)e=be,a(ee)=a,由(ae)e=a(ee),推出be=a,而b^2=a,故b=e,矛盾
若ae=c,因为(ae)(ea)=a(ee)a=aa=b,又ae=c,所以c(ea)=b,两边乘以c的逆,ea=c^(-1)*b=db
而由上面ac=b的讨论知道db=e,即ea=e,矛盾
所以此分类下没有6阶非Abel群.
综上所述,6阶非Abel群的2阶子群共有(3 )个,3阶子群共有( 1)个,4阶子群共有(0 )个
结论是:6阶非Abel群的2阶子群共有(3 )个,3阶子群共有( 1)个,4阶子群共有(0 )个.
首先,由拉格朗日定理知道6阶非Abel群的4阶子群个数为零,因为6不能整除4.
然后可以找到3阶置换群S3={(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)},它是6阶非Abel群,
其中二阶子群为{(1),(1 2)},{(1),(1 3)}{(1),(2 3)},三阶子群为{(1),(1 3 2),(1 2 3)}
你可以验证一下满足题意和结论.
那么关键是讨论出了S3以外是否还有其他群满足.
我们以三阶子群作为分类.
1、三阶子群个数为0;2、三阶子群个数为1(这个是上面的情况);3、三阶子群个数为2.
三阶子群个数为3或3以上的,很明显构造不出来,因为除去单位元1之外,至少还要6个元素,此时阶数为7,不是阶非Abel群.所以关于6阶非Abel群的子群问题只有上述三种情况分类.
最后,证明分类1,3不满足题意.
对于分类1:可设其为A={1,a,b,c,d,e}.因为没有三阶群,故出去1之外,其他元素的阶均为2,所以A的子群为{1,a}{1,b}{1,c}{1,e}{1,f}.因为元素的阶为2,所以a^2=1,即a=a^(-1),所以元素的逆即为自己.同样的可以讨论其他元素.
为了保证群中乘法的封闭性,我们假设ab=c(推理可知ab不能等于1,ab不能等于a,ab不能等于b,所以ab的值只能为c,d,e,f中的一个,取c),那么c^2=1=(ab)^2,所以有ab=(ab)^(-1),而b^2=a^2=1,可知(ab)(ba)=a(bb)a=aa=1,所以(ab)^(-1)=ba.这样我们就有ab=ba.对于其他元素我们也可以这样讨论,那么可发现这个群地所有元素可交换,此时该群为Abel群,与题目假设矛盾.
对于分类2:可设其为A={1,a,b,c,d,e}.因为三阶子群个数为2,可得到出去{1}的子群为
{1,a,b}{1,c,d}{1,e},此时a,b,c,d的阶为3,e的阶为2,且a^2=b,b^2=a,c^2=d,d^2=c,e^2=1,于是ab=ba=cd=dc=1(这一步你自己要好好想想,原因写起来太麻烦).那么ab=a*a^2=1=ba=a^2*a,即ab=ba.同样有cd=dc.
现在考虑ac=?
若ac=b,b(ac)=b*b=a,(ba)c=1*c=c,但是b(ac)=(ba)c,a!=c,矛盾,故ac!=b;
若ac=d,(ac)d=d^2=c,a(cd)=a*1=a,矛盾,故ac!=d
所以ac=e,同理有ca=cb=bc=da=ad=db=bd=e.
现在考虑ae=?
ae=a,ae=e显然是不可能的.
若ae=b,(ae)e=be,a(ee)=a,由(ae)e=a(ee),推出be=a,而b^2=a,故b=e,矛盾
若ae=c,因为(ae)(ea)=a(ee)a=aa=b,又ae=c,所以c(ea)=b,两边乘以c的逆,ea=c^(-1)*b=db
而由上面ac=b的讨论知道db=e,即ea=e,矛盾
所以此分类下没有6阶非Abel群.
综上所述,6阶非Abel群的2阶子群共有(3 )个,3阶子群共有( 1)个,4阶子群共有(0 )个
【离散数学】12阶循环群有多少个不同的子群?
请问如何在一个群中找出给定阶的子群,或者是所有的子群(可以用拉格朗日定理),比如要在S4 中如何找8阶子群?
设有限群G恰好具有两个n阶子群H,K,并且G由H,K生成,证明H,K是G的正规子群
G=是6阶循环群,求G的所有子群
证明任一个群G不能是两个不等于G的子群的集合
设H,K分别是群G的阶为3,5的子群,证明H∩G={1}
群和子群有这个一个题,实在不懂,有哪位大虾帮帮忙证明,设G是交换群,证明G中一切有限阶元素所成集合H是G的一个子群
能不能帮我证明一下 一个群的换位子群是不是正规的 如果是 咋个证明呢
设(G,*)是可交换群,a,b属于G,a和b都是2阶元素,证明(G,*)必有4阶子群
什么情况下,子群的并还是子群?
离散数学(循环群)设是10阶循环群(1)找出G所有的生成元(2)写出G所有的非平凡子群,并求其左陪集划分
离散数学-代数结构问题 求6阶循环群{e,a,a2,…,a5}的各阶子群.越详细越好,