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(2013•浙江)如图,在四面体A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=22.M是AD的中点,P是B

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/11/06 06:20:12
(2013•浙江)如图,在四面体A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2
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(2013•浙江)如图,在四面体A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=22.M是AD的中点,P是B
(1)取BD的中点O,在线段CD上取点F,使得DF=3CF,连接OP、OF、FQ
∵△ACD中,AQ=3QC且DF=3CF,∴QF∥AD且QF=
1
4AD
∵△BDM中,O、P分别为BD、BM的中点
∴OP∥DM,且OP=
1
2DM,结合M为AD中点得:OP∥AD且OP=
1
4AD
∴OP∥QF且OP=QF,可得四边形OPQF是平行四边形
∴PQ∥OF
∵PQ⊄平面BCD且OF⊂平面BCD,∴PQ∥平面BCD;
(2)过点C作CG⊥BD,垂足为G,过G作GH⊥BM于H,连接CH
∵AD⊥平面BCD,CG⊂平面BCD,∴AD⊥CG
又∵CG⊥BD,AD、BD是平面ABD内的相交直线
∴CG⊥平面ABD,结合BM⊂平面ABD,得CG⊥BM
∵GH⊥BM,CG、GH是平面CGH内的相交直线
∴BM⊥平面CGH,可得BM⊥CH
因此,∠CHG是二面角C-BM-D的平面角,可得∠CHG=60°
设∠BDC=θ,可得
Rt△BCD中,CD=BDcosθ=2
2cosθ,CG=CDsinθ=2
2sinθcosθ,BG=BCsinθ=2
2sin2θ
Rt△BMD中,HG=
BG•DM
BM=
2
2
3sin2θ;Rt△CHG中,tan∠CHG=
CG
GH=
3cosθ
sinθ=
3
∴tanθ=