证明y^3=x^2+5无整数解

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/11 22:34:08

证明y^3=x^2+5无整数解

显然y必须大于零
因此题目可以化为
“无正整数解”
等式两边同时模5(模就是做除法后取余数)
可以发现
x^2模5后的余数可以是
1,4,4,1,0
且呈周期性变化
5模5后的余数是0
y^3模5后的余数是
1,3,2,4,0
且呈周期性变化
要使等式成立
就必须使等式两边模5后的余数相同
由于5模5后的余数是0
也就要使
x^2模5后的余数等于y^3模5后的余数
表示为
X^2(mod5)=y^3(mod5)=k
情况一：
k=0
=>X^2(mod5)=y^3(mod5)=0
=>X(mod5)=y(mod5)=0
设x=5a,y=5b,a>=1,b>=1(以保证是正整数)
=>(5a)^2+5=(5b)^3
=>25a^2+1=125b^3
显然
25a^2+1(mod25)=1
125b^3(mod25)=25*5b^3(mod25)=0
两边模25 不等
因此这种情况无解
情况二：
X^2(mod5)=y^3(mod5)=1
此时再对原等式两边模4
x^2模4后可能是 0,1
5模4后为1
Y^3模4后可能是1,0,3,
显然要使等式成立
就必须使
x^2模4后是 0
Y^3模4后是1
由前者可以推得x是偶数
后者可以推得Y模4后余数是1
由 y^3(mod5)=1
=> y(mod5)=1
又因为Y模4后余数是1
=>y(mod20)=1
x是偶数
且
x（mod5）=1或4
可见
x的个位数是4或6
=>x(mod20)=4,6,14,16
下面讨论
当x(mod20)=4,y(mod20)=1时
设x=(20a+4),y=(20b+1)
带入原式
得到
(20a+4)^2+5=(20b+1)^3
=> 400a^2+160a+16+5=8000b^3+1200b^2+60b+1
=> (400a^2+100a)+60a+20=(8000b^3+1200b^2)+60b
=> 式中(400a^2+100a)和(8000b^3+1200b^2)都是100的倍数
=> 当除数是100时,60a+20与60b同余（余数相同）
=> 也就是60a+20(mod100)=60b(mod100)
=>a+1/3=b(mod100)
由于a,b是正整数
=> a+1/3不可能=b
=> 这种情况是不存在的
当x(mod20)=6,y(mod20)=1时
可以用相同的做法得到否定的结果
当x(mod20)=14,y(mod20)=1时
可以将当x(mod20)=4化为x(mod20)=-6来做
综合以上四种小情况可以得到
情况二的各种假设都是错误的
因此
情况一和情况二都不成立
因此
x^2+5=y^3无正整数解
也就是
x^2+5=y^3无整数解

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