大师作文网已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a大于b大于0)的离心率为根号2/2,其左 右焦点分别为F1F2 P是椭
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/06 15:39:29
已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a大于b大于0)的离心率为根号2/2,其左 右焦点分别为F1F2 P是椭圆上一点.向量PF1×向量PF2=3/4,OP的绝对值=根号7/2
1、求椭圆C的方程
2、过点S(0,-1/3)的动直线l交与椭圆C与A,B两点,试问：在y轴上是否存在一个定点M,使得以AB为直径的圆恒过点M?若存在,求出M的坐标,若不存在,请说明理由
1、求椭圆C的方程
2、过点S(0,-1/3)的动直线l交与椭圆C与A,B两点,试问：在y轴上是否存在一个定点M,使得以AB为直径的圆恒过点M?若存在,求出M的坐标,若不存在,请说明理由
⑴∵e=c/a=√2/2,
∴c²=b²=a²/2,
椭圆方程变为：x²+2y²=a²(a>b>0),
设P(x,y),则→F1P=(x+c,y),→F2P=(x-c,y),由题意得：
x²+y²=(√7/2)²=7/4,
(x+c)(x-c)+y²=x²+y²-c²=3/4,
解得c=1,故a²=2,b²=1,
∴椭圆方程为：x²/2+y²=1；
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
⑵当直线l与x轴平行时,以AB为直径的圆方程为x²+(y+1/3)²=(4/3)²,
当直线l与y轴重合时,以AB为直径的圆方程为x²+y²=1,
∴两圆的切点为点(0,1),
猜想所求的点M为点(0,1),证明如下：
①当直线l与x轴垂直时,以AB为直径的圆过点(0,1)；
②当直线l与x轴不垂直时,可设直线l：y=kx−1/3,
连立椭圆方程x²/2+y²=1,得：
(18k²+9)x²-12kx-16=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则：
x1+x2=12k/(18k²+9),x1x2=−16/(18k²+9),
→MA=(x1,y1-1),→MB=(x2,y2-1),
∴→MA•→MB=x1x2+y1y2-y1-y2+1
=(1+k²)x1x2−4/3k×(x1+x2)+16/9
=(-16-16k²)/(18k²+9)-(16k²)/(18k²+9)+16/9
=-(32k²+16)/(18k²+9)+16/9
=0
∴MA⊥MB,即以AB为直径的圆过点(0,1)．
综上所述,存在一个定点M(0,1),使得以AB为直径的圆恒过定点M．
【解决这类问题时,可以先假设存在这个定点,再通过特殊位置求出这个定点的坐标,最后求证这个定点符合题意．】
//--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
【明教】为您解答,
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祝您学业进步!
∴c²=b²=a²/2,
椭圆方程变为：x²+2y²=a²(a>b>0),
设P(x,y),则→F1P=(x+c,y),→F2P=(x-c,y),由题意得：
x²+y²=(√7/2)²=7/4,
(x+c)(x-c)+y²=x²+y²-c²=3/4,
解得c=1,故a²=2,b²=1,
∴椭圆方程为：x²/2+y²=1；
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⑵当直线l与x轴平行时,以AB为直径的圆方程为x²+(y+1/3)²=(4/3)²,
当直线l与y轴重合时,以AB为直径的圆方程为x²+y²=1,
∴两圆的切点为点(0,1),
猜想所求的点M为点(0,1),证明如下：
①当直线l与x轴垂直时,以AB为直径的圆过点(0,1)；
②当直线l与x轴不垂直时,可设直线l：y=kx−1/3,
连立椭圆方程x²/2+y²=1,得：
(18k²+9)x²-12kx-16=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则：
x1+x2=12k/(18k²+9),x1x2=−16/(18k²+9),
→MA=(x1,y1-1),→MB=(x2,y2-1),
∴→MA•→MB=x1x2+y1y2-y1-y2+1
=(1+k²)x1x2−4/3k×(x1+x2)+16/9
=(-16-16k²)/(18k²+9)-(16k²)/(18k²+9)+16/9
=-(32k²+16)/(18k²+9)+16/9
=0
∴MA⊥MB,即以AB为直径的圆过点(0,1)．
综上所述,存在一个定点M(0,1),使得以AB为直径的圆恒过定点M．
【解决这类问题时,可以先假设存在这个定点,再通过特殊位置求出这个定点的坐标,最后求证这个定点符合题意．】
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