三角形内一点到该三角形三个顶点距离的和最小的点为什么叫费马点
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/30 07:14:52
三角形内一点到该三角形三个顶点距离的和最小的点为什么叫费马点
费马(Pierre De Fermat )是法国数学家,1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅.费马曾提出关于三角形的一个有趣问题:在三角形所在平面上,求一点,使该点到三角形三个顶点距离之和最小.人们称这个点为“费马点”.
引例:有甲乙丙三个村庄,要在中间建一供水站向三地送水,现要确定供水站的位置以使所需管道总长最小?将此问题用数学模型抽象出来即为:
在△ ABC中确定一点P,使P到三顶点的距离之和PA+PB+PC最小.
解法如下:分别以AB AC为边向外侧作正三角形ABD ACE 连结CD BE交于一点,则该点 即为所求P点.
证明:如下图所示.连结PA、PB、PC,在△ABE和△ACD中,AB=AD AE=AC ∠BAE=∠BAC+60° ∠DAC=∠BAC+60°=∠BAE ∴△ABE全等△ACD.
∴ ∠ABE=∠ADC 从而A、D、B、P四点共圆
∴∠APB=120° ,∠APD=∠ABD=60°
同理:∠APC=∠BPC=120°
以P为圆心,PA为半径作圆交PD于F点,连结AF,
以A为轴心将△ABP顺时针旋转60°,已证∠APD=60°
∴△APF为正三角形.∴不难发现△ABP与△ADF重合.
∴BP=DF PA+PB+PC=PF+DF+PC=CD
另在△ABC中任取一异于P的点G ,同样连结GA、GB、GC、GD,以B为轴心
将△ABG逆时针旋转60°,记G点旋转到M点..
则△ABG与△BDM重合,且M或 在 线 段DG上 或 在DG外.
GB+GA=GM+MD≥GDGA+GB+GC≥GD+GC>DC.
从而CD为最短的线段.
以上是简单的费马点问题,将此问题外推到四点,可验证四边形的对角线连线的交点即是所求点.
引例:有甲乙丙三个村庄,要在中间建一供水站向三地送水,现要确定供水站的位置以使所需管道总长最小?将此问题用数学模型抽象出来即为:
在△ ABC中确定一点P,使P到三顶点的距离之和PA+PB+PC最小.
解法如下:分别以AB AC为边向外侧作正三角形ABD ACE 连结CD BE交于一点,则该点 即为所求P点.
证明:如下图所示.连结PA、PB、PC,在△ABE和△ACD中,AB=AD AE=AC ∠BAE=∠BAC+60° ∠DAC=∠BAC+60°=∠BAE ∴△ABE全等△ACD.
∴ ∠ABE=∠ADC 从而A、D、B、P四点共圆
∴∠APB=120° ,∠APD=∠ABD=60°
同理:∠APC=∠BPC=120°
以P为圆心,PA为半径作圆交PD于F点,连结AF,
以A为轴心将△ABP顺时针旋转60°,已证∠APD=60°
∴△APF为正三角形.∴不难发现△ABP与△ADF重合.
∴BP=DF PA+PB+PC=PF+DF+PC=CD
另在△ABC中任取一异于P的点G ,同样连结GA、GB、GC、GD,以B为轴心
将△ABG逆时针旋转60°,记G点旋转到M点..
则△ABG与△BDM重合,且M或 在 线 段DG上 或 在DG外.
GB+GA=GM+MD≥GDGA+GB+GC≥GD+GC>DC.
从而CD为最短的线段.
以上是简单的费马点问题,将此问题外推到四点,可验证四边形的对角线连线的交点即是所求点.
三角形平面内有一点,该点到三角形三个顶点的距离和最短,则该点是三角形的
如何证明三角形内一点到三个顶点的距离小于三角形的周长
三角形内一点到三个顶点的距离相等,那么它是三角形的……
如何在三角形内取一点,使该点到三顶点的距离之和最小
为什么三角形的重心是到三角形三顶点距离的平方和最小的点
如果三角形内一点到三个顶点的距离相等,那么这个点一定是三条垂直平分线的交点吗?
已知一直角三角形,直角边长为根号三、二,如何求三角形内一点,到三个顶点距离和最小?
已知三角形ABC,在三角形ABC内做一点P,使它到三角形ABC三个顶点的距离相等
怎样在正方形内找一点使该点到正方形三个顶点距离之和最小.
平面上的点到三角形的三个顶点的距离的平方和最小的是三角形的什么心?为什么?
若到三角形ABC三个顶点的距离的平方和最小的点是此三角形的重心.
在同一平面内,到三角形三个顶点的距离相等的点有几个