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设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是(  )

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/11/17 09:11:11
设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是(  )

A.若
lim
x→0
f(x)
x
设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是(  )
首先,由函数f(x)在x=0处连续,有
lim
x→0f(x)=f(0),
所以,
lim
x→0
f(x)
x→
f(0)
0.
(1)选项A.

lim
x→0
f(x)
x存在,也就是x→0时,
f(0)
0的极限存在,
如果f(0)≠0,则
lim
x→0
f(x)
x=∞,这样一来,
lim
x→0
f(x)
x的极限也就不存在了,所以f(x)=0,
故选项A正确.
(2)选项B.
根据选项A的分析,同理选项B,由于
lim
x→0[f(x)+f(−x)]=2f(0),因而也是成立的,
故选项B正确.
(3)选项C.
由选项A,我们知道f(0)=0,
所以
lim
x→0
f(x)
x=
lim
x→0
f(x)−f(0)
x=f′(0),故f′(0)存在,
故选项C正确.
(4)选项D.
我们通过举反例,比如:f(x)=|x|,显然满足题目条件,
但f(x)在x=0处不可导,故选项D错误.
故选:D.