如图,在三角形ABC中,AC=b,BC=a,a〈b,D是三角形ABC内一点,且AD=a,∠ADB+∠C=180°,问∠C
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/23 02:34:07
如图,在三角形ABC中,AC=b,BC=a,a〈b,D是三角形ABC内一点,且AD=a,∠ADB+∠C=180°,问∠C为何值时,凹四边形ADBC的面积最大?并求出最大值.
设∠C=θ
∵三角形ABC的面积=absinθ/2
三角形ABD的面积=a·|BD|sin(π-θ)/2=asinθ·|BD|/2
∴凹四边形ADBC面积=三角形ABC的面积-三角形ABD的面积=asinθ(b-|BD|)/2
根据余弦定理
|AB|^2=a^2+b^2-2abcosθ,|AB|^2=a^2+|BD|^2-2a·|BD|cosθ
联立上面两式消去|AB|化简得:|BD|^2+2acosθ·|BD|+2abcosθ-b^2=0
∵∠ADB+θ=180°,D是三角形ABC内一点,故θ必然小于90°,即cosθ>0
∴解一元二次方程得:|BD|=|acosθ-b|-acosθ
又b>a>acosθ,即b-acosθ>0,故有|BD|=b-acosθ-acosθ=b-2acosθ
所以,凹四边形ADBC面积=asinθ(b-|BD|)/2=asinθ[b-(b-2acosθ)]/2=a^2·sinθcosθ=1/2*a^2*sin2θ≤a^2/2,当且仅当sin2θ=1时取“=”,此时θ=π/4.
故:∠C=π/4时凹四边形面积最大,最大值为a^2/2
∵三角形ABC的面积=absinθ/2
三角形ABD的面积=a·|BD|sin(π-θ)/2=asinθ·|BD|/2
∴凹四边形ADBC面积=三角形ABC的面积-三角形ABD的面积=asinθ(b-|BD|)/2
根据余弦定理
|AB|^2=a^2+b^2-2abcosθ,|AB|^2=a^2+|BD|^2-2a·|BD|cosθ
联立上面两式消去|AB|化简得:|BD|^2+2acosθ·|BD|+2abcosθ-b^2=0
∵∠ADB+θ=180°,D是三角形ABC内一点,故θ必然小于90°,即cosθ>0
∴解一元二次方程得:|BD|=|acosθ-b|-acosθ
又b>a>acosθ,即b-acosθ>0,故有|BD|=b-acosθ-acosθ=b-2acosθ
所以,凹四边形ADBC面积=asinθ(b-|BD|)/2=asinθ[b-(b-2acosθ)]/2=a^2·sinθcosθ=1/2*a^2*sin2θ≤a^2/2,当且仅当sin2θ=1时取“=”,此时θ=π/4.
故:∠C=π/4时凹四边形面积最大,最大值为a^2/2
如图,在△ABC中D是BC边上的一点,将三角形ABC绕点D顺时针旋转至三角形A’B’C’使A’C’∥CD若∠C=58°顺
在三角ABC,A'B'C'中,AD=A'D',AD,A'D'是中线,AB=A'B',AC=A'C',证明三角形ABC全等
在三角形ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD.求∠A ∠ADB的度数.
在三角形ABC中,∠A的平分线交BC于点D,∠B=65°,∠C=50°.球∠ADB的度数
如图6①,在三角形ABC中,AB=AC,D是三角形ABC内一点,BD=DC,∠ADB=∠ADC.你能判断AD与BC的位置
如图,在三角形ABC中,∠B为钝角,∠A=60°,D是射线BC上的一点,过D点作DE∥AC交射线BA于点E,F为射线.C
在三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长,且a=3,A=60°,D在BC边上,AD为三角形ABC的中位
如图,在三角形ABC中,∠ABC=90度,AC=BC.直线MN经过点C且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,问DE,AD,B
如图,Rt三角形ABC中,∠C=90,D是AC上一点,且∠ADB=6x°.求x的取值范围
在三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长,且a=3,A=60°,D在BC边上,AD为三角形ABC的中线
如图,在三角形ABC中,D是AC上一点,且AD=BD=BC,角DBC=20°,试求角A角C角ABC度数
如图,三角形ABC全等三角形A'B'C',AD平分∠BAC,A'D'平分∠B'A'C',求AD=A'D'