已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c的图象为曲线C.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/27 23:30:40
已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c的图象为曲线C.
(1)若曲线C上存在点P,使曲线C在P点处的切线与x轴平行,求a,b的关系;
(2)若函数f(x)可以在x=-1和x=3时取得极值,求此时a,b的值;
(3)在满足(2)的条件下,f(x)<2c在x∈[-2,6]恒成立,求c的取值范围.
(1)若曲线C上存在点P,使曲线C在P点处的切线与x轴平行,求a,b的关系;
(2)若函数f(x)可以在x=-1和x=3时取得极值,求此时a,b的值;
(3)在满足(2)的条件下,f(x)<2c在x∈[-2,6]恒成立,求c的取值范围.
(1)f'(x)=3x2-2ax+b,设切点为P(x0,y0),
则曲线y=f(x)在点P的切线的斜率k=f'(x0)=3x02-2ax0+b
由题意知f'(x0)=3x02-2ax0+b=0有解,
∴△=4a2-12b≥0,即a2≥3b.
(2)若函数f(x)可以在x=-1和x=3处取得极值,
则f'(x)=3x2-2ax+b有两个解x=-1和x=3,且满足a2≥3b,
利用韦达定理得a=3,b=-9.
(3)由(2)得f(x)=x3-3x2-9x+c根据题意,c>x3-3x2-9x(x∈[-2,6])恒成立,
令函数g(x)=x3-3x2-9x(x∈[-2,6]),由g′(x)=3x2-6x-9,令g′(x)=0得出x=-1或3,
当x∈[-2,-1)时,g′(x)>0,g(x)在x∈[-2,-1)上单调递增,
当x∈(-1,3)时,g′(x)<0,g(x)在x∈(-1,3)上单调递减,
当x∈(3,6),g′(x)>0,g(x)在x∈(3,6)上单调递增,
因此,g(x)在x=-1时有极大值5,且g(6)=54,g(-2)=-2.
∴函数g(x)=x3-3x2-9x(x∈[-2,6])的最大值为54,所以c>54.
则曲线y=f(x)在点P的切线的斜率k=f'(x0)=3x02-2ax0+b
由题意知f'(x0)=3x02-2ax0+b=0有解,
∴△=4a2-12b≥0,即a2≥3b.
(2)若函数f(x)可以在x=-1和x=3处取得极值,
则f'(x)=3x2-2ax+b有两个解x=-1和x=3,且满足a2≥3b,
利用韦达定理得a=3,b=-9.
(3)由(2)得f(x)=x3-3x2-9x+c根据题意,c>x3-3x2-9x(x∈[-2,6])恒成立,
令函数g(x)=x3-3x2-9x(x∈[-2,6]),由g′(x)=3x2-6x-9,令g′(x)=0得出x=-1或3,
当x∈[-2,-1)时,g′(x)>0,g(x)在x∈[-2,-1)上单调递增,
当x∈(-1,3)时,g′(x)<0,g(x)在x∈(-1,3)上单调递减,
当x∈(3,6),g′(x)>0,g(x)在x∈(3,6)上单调递增,
因此,g(x)在x=-1时有极大值5,且g(6)=54,g(-2)=-2.
∴函数g(x)=x3-3x2-9x(x∈[-2,6])的最大值为54,所以c>54.
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,过曲线y=f(x)图象上点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+1,且函数y
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(实数a,b,c为常数)的图象过原点,且在x=1处的切线为直线y=−12.
(2010•湖北模拟)已知函数f(x)=-x3+ax2+bx+c图象上的点P(1,-2)处的切线方程为y=-3x+1.
已知函数f(x)=-x3+ax2+bx+c图象上的点P(1,-2)处的切线方程为y=-3x+1.
已知在函数f(x)=-x3+ax2+bx+c图象上的点P(1,-2)处的切线方程为y=-3x+1.
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在曲线y=f(x)上的点P(1,f(1))的切线为y=3x+1
已知函数f(x)=x3-ax2-bx的图象与x轴相切于点(1,0),f(x)的极大值为______.
已知函数f(x)=-x3+ax2+bx+c图象上的点P(1,f(1))处的切线方程为y=-3x+1
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线l不过第四象限且斜率为3,又坐标原点到切线l
已知函数f(x)=4x3+ax2+bx+5的图象在x=1处的切线方程为y=-12x.
函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,过曲线 y=f(x)上的点 P(1,f(1))的切线方程为 y=3x+1.
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在x=±1处的切线斜率均为-1,有以下命题