平面几何竞赛题设P为△ABC内的一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,O为异于P的任意一点,求证:OA+OB+
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/23 10:32:07
平面几何竞赛题
设P为△ABC内的一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,O为异于P的任意一点,求证:OA+OB+OC>PA+PB+PC
设P为△ABC内的一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,O为异于P的任意一点,求证:OA+OB+OC>PA+PB+PC
这道题用到了楼上所说的【费尔马点】
证明:
过△ABC的顶点A、B、C分别作PA⊥AM,PC⊥CN,PB⊥BQ,三垂线分别交于M、N、Q三点
在四边形QAPB中,∠QAP=∠QBP=90°,∠APB=120°
∴∠AQB=60°
同理,∠AMC=∠CNB=60°
∴△QMN为等边三角形
设其边长为a,高为h,并设O到△MNQ三边的距离分别为ha,hb,hc
∵S△QMN=S△OQN+S△OQM+S△OMN
∴1/2ah=1/2a•ha+1/2a•hb+1/2a•hc=1/2a(ha+hb+hc)
∴h=ha+hb+hc
即△QMN内任意一点O到△QMN三边的距离之和等于等边三角形的高,是一个定值
∴PA+PB+PC=h
连接直线外一点与直线上一点的线段中,垂线段最短
∴OA+OB+OC大于O到△QMN三边的距离和
即OA+OB+OC>h
∴OA+OB+OC>PA+PB+PC
【说明】平面上到△ABC三个顶点距离和最小的点是P点,点P叫费尔马点
证明:
过△ABC的顶点A、B、C分别作PA⊥AM,PC⊥CN,PB⊥BQ,三垂线分别交于M、N、Q三点
在四边形QAPB中,∠QAP=∠QBP=90°,∠APB=120°
∴∠AQB=60°
同理,∠AMC=∠CNB=60°
∴△QMN为等边三角形
设其边长为a,高为h,并设O到△MNQ三边的距离分别为ha,hb,hc
∵S△QMN=S△OQN+S△OQM+S△OMN
∴1/2ah=1/2a•ha+1/2a•hb+1/2a•hc=1/2a(ha+hb+hc)
∴h=ha+hb+hc
即△QMN内任意一点O到△QMN三边的距离之和等于等边三角形的高,是一个定值
∴PA+PB+PC=h
连接直线外一点与直线上一点的线段中,垂线段最短
∴OA+OB+OC大于O到△QMN三边的距离和
即OA+OB+OC>h
∴OA+OB+OC>PA+PB+PC
【说明】平面上到△ABC三个顶点距离和最小的点是P点,点P叫费尔马点
如图(1),P为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点.
已知P是△ABC内一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA,PA的平方=PB×PC
如图,在△ABC中,∠ABC=60°,点P是△ABC内的一点,使得∠APB=∠BPC=∠CPA,且PA=8,PC=6,则
你听说过费马点吗?如图,P为△ABC所在平面上的一点.如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120 ,则点P就是费马点.费马
在三角形abc中∠abc=60°,点p是三角形abc内一点,使得∠apb=∠bpc=∠cpa,且pa=8,pc=6,求p
P为三角形ABC所在平面外的一点,∠APB=∠BPC=∠CPA=60°,则二面角A-PB-C的平面角的余弦值是.
在三棱锥P-ABC中,∠APB=∠BPC=∠CPA=60°,则PA与平面PBC所成角的余弦值为?
△ABC中,角ABC=60°,点P是△ABC中一点,使得∠APB=∠BPC=∠CPA,且PA=8,PC=6,则PB=(
Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,P为△ABC内一点,且∠APC=∠BPC=∠APB=120
P为等边三角形abc中一点,且角apb:bpc:cpa=5:6:7,那么pa,pb,pc组成三角形内角比是多少?
如图,P是等边三角形ABC内一点,∠APB,∠BPC,∠CPA的大小之比为5:6:7,则以PA,PB,PC为边的三角形三
如图,点P为正△ABC内一点,∠APB=125°,∠BPC=100°,则以AP,BP,CP为边长的三角形各内角的度数为_