讨论方程 x^2=xsin x+cos x 的根的个数.

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/13 18:06:55

讨论方程 x²=xsin x+cos x 的根的个数.
设f(x)=x²-xsinx-cosx=0
令f '(x)=2x-sinx-xcosx+sinx=2x-xcosx=x(2-cosx)=0
因为2-cosx≠0,故必有x=0,即f(x)只有唯一的一个驻点x=0；当x0；
因此x=0是f(x)的极小点,极小值f(x)=f(0)=-1；当x→±∞时f(x)→+∞.故原方程会有两个根.
再问：前面我都能看明白，极小值，驻点等，但是当x→±∞时f(x)→+∞。故原方程会有两个根这句话有一点不明白，多谢
再答： x=0时f(x)获得最小值-1；极值点(0，-1)在x轴的下面，且在y轴上；这个极值点是唯一的。当x→±∞时f(x)→+∞，即x沿x轴向x轴的两端移动时，y→+∞，那就是说函数的图像在y轴的左右两边穿过x轴伸向无穷大；图像与x轴的交点的横坐标就是方程的根，有两处穿过x轴，就是有两个根。从函数的奇偶性也可得出此结论。f(-x)=(-x)²-(-x)sin(-x)-cos(-x)=x²-sinx-cosx=f(x)，因此f(x)时偶函数。

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