大师作文网证明两个函数傅里叶级数相等的充要条件
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/17 07:10:33
证明两个函数傅里叶级数相等的充要条件
设f(x),g(x)以2pi为周期,且在[-pi,pi]上可积,证明f,g的傅里叶级数相等的充要条件是
|f(x)-g(x)| 从-pi到pi的定积分=0
设f(x),g(x)以2pi为周期,且在[-pi,pi]上可积,证明f,g的傅里叶级数相等的充要条件是
|f(x)-g(x)| 从-pi到pi的定积分=0
首先命题等价于:在[-π,π]可积的2π周期函数f(x),Fourier系数全为0的充要条件是∫{-π,π} |f(x)|dx = 0.
充分性很容易:0 ≤ |∫{-π,π} f(x)dx| ≤ ∫{-π,π} |f(x)|dx = 0.
0 ≤ |∫{-π,π} f(x)sin(nx)dx| ≤ ∫{-π,π} |f(x)|·|sin(nx)|dx ≤ ∫{-π,π} |f(x)|dx = 0.
0 ≤ |∫{-π,π} f(x)cos(nx)dx| ≤ ∫{-π,π} |f(x)|·|cos(nx)|dx ≤ ∫{-π,π} |f(x)|dx = 0.
故所有Fourier系数全为0.
必要性用Parseval恒等式:由f(x)在[-π,π]可积,|f(x)|²也在[-π,π]可积.
并成立Parseval恒等式:∫{-π,π} |f(x)|²dx = |a0|²+∑{1 ≤ n} (|an|²+|bn|²).
由f(x)的Fourier系数全为0,可知∫{-π,π} |f(x)|²dx = 0.
再由Cauchy不等式:(∫{-π,π} |f(x)|dx)² ≤ (∫{-π,π} |f(x)|²dx)·(∫{-π,π} 1²dx) = 0.
即得∫{-π,π} |f(x)|dx = 0.
充分性很容易:0 ≤ |∫{-π,π} f(x)dx| ≤ ∫{-π,π} |f(x)|dx = 0.
0 ≤ |∫{-π,π} f(x)sin(nx)dx| ≤ ∫{-π,π} |f(x)|·|sin(nx)|dx ≤ ∫{-π,π} |f(x)|dx = 0.
0 ≤ |∫{-π,π} f(x)cos(nx)dx| ≤ ∫{-π,π} |f(x)|·|cos(nx)|dx ≤ ∫{-π,π} |f(x)|dx = 0.
故所有Fourier系数全为0.
必要性用Parseval恒等式:由f(x)在[-π,π]可积,|f(x)|²也在[-π,π]可积.
并成立Parseval恒等式:∫{-π,π} |f(x)|²dx = |a0|²+∑{1 ≤ n} (|an|²+|bn|²).
由f(x)的Fourier系数全为0,可知∫{-π,π} |f(x)|²dx = 0.
再由Cauchy不等式:(∫{-π,π} |f(x)|dx)² ≤ (∫{-π,π} |f(x)|²dx)·(∫{-π,π} 1²dx) = 0.
即得∫{-π,π} |f(x)|dx = 0.