(2014•苏州模拟)如图,△ABC内接于半圆,圆心为O,AB是直径,过A作直线MN,若∠MAC=∠ABC.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/04 18:35:36
(2014•苏州模拟)如图,△ABC内接于半圆,圆心为O,AB是直径,过A作直线MN,若∠MAC=∠ABC.
(1)求证:MN是半圆的切线;
(2)设D是弧AC的中点,连接BD交AC于G,过D作DE⊥AB于E,交AC于F.求证:DE=
(1)求证:MN是半圆的切线;
(2)设D是弧AC的中点,连接BD交AC于G,过D作DE⊥AB于E,交AC于F.求证:DE=
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如右图所示,
(1)∵AB是直径,
∴∠C=90°,
∴∠CBA+∠BAC=90°,
又∵∠MAC=∠ABC,
∴∠MAC+∠CAB=90°,
即∠BAM=90°,
∴OA⊥MN,
∴MN是⊙O的切线;
(2)连接OD交AC于H,
∵D是AC中点,
∴OD⊥AC,AH=
1
2AC,
∵∠DOE=∠AOH,∠OHA=∠OED=90°,OA=OD,
∴△OAH≌△ODE,
∴DE=AH=
1
2AC;
(3)连接AD,
由(2)知△OAH≌△ODE,
∴∠ODE=∠OAH,
又∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD,
∴∠ODA-∠ODE=∠OAD-∠OAH,
即∠FDA=∠FAD,
∴FD=FA,
∵AB是直径,
∴∠BDA=90°,
∴∠FDA+∠GDF=90°,∠DAF+∠DGF=90°,
∴∠GDF=∠DGF,
∴FG=DF,
∴FG=FA=FD,
∴S△DGF=
1
2S△ADG,
易证△BCG∽△ADG,
∴S△BCG:S△ADG=(
CG
DG)2=(
b
a)2,
∴S△BCG=
2b2S
a2.
(1)∵AB是直径,
∴∠C=90°,
∴∠CBA+∠BAC=90°,
又∵∠MAC=∠ABC,
∴∠MAC+∠CAB=90°,
即∠BAM=90°,
∴OA⊥MN,
∴MN是⊙O的切线;
(2)连接OD交AC于H,
∵D是AC中点,
∴OD⊥AC,AH=
1
2AC,
∵∠DOE=∠AOH,∠OHA=∠OED=90°,OA=OD,
∴△OAH≌△ODE,
∴DE=AH=
1
2AC;
(3)连接AD,
由(2)知△OAH≌△ODE,
∴∠ODE=∠OAH,
又∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD,
∴∠ODA-∠ODE=∠OAD-∠OAH,
即∠FDA=∠FAD,
∴FD=FA,
∵AB是直径,
∴∠BDA=90°,
∴∠FDA+∠GDF=90°,∠DAF+∠DGF=90°,
∴∠GDF=∠DGF,
∴FG=DF,
∴FG=FA=FD,
∴S△DGF=
1
2S△ADG,
易证△BCG∽△ADG,
∴S△BCG:S△ADG=(
CG
DG)2=(
b
a)2,
∴S△BCG=
2b2S
a2.
如图,△ABC内接于半圆,AB为直径,过点A作直线MN,若∠MAC=∠ABC.
如图,△ABC内接于⊙O,AB是直径,过点A作直线MN,若∠MAC=∠ABC.
如图,△ABC内接于半圆,AB是直径,过A做直线MN,若∠MAC=∠ABC
如图,△ABC内接于半圆O,AB为直径,过点A作直线MN,若∠MAC=∠ABC,AE=4,DE=8,求EF
三角形ABC内接于半圆,AB是直径,过A作直线MN
(2012•金平区模拟)如图,半圆O的直径AB=10,弦AC=8,过A作直线PQ,若∠PAC=∠ABC.
(2014•徐州模拟)已知:如图,△ABC中,点O是AC上的一动点,过点O作直线MN∥AB,设MN交∠BCA的平分线于点
(2013•高淳县一模)如图,在△ABC中,AB=AC,cosA=45.以AB为直径作半圆,圆心为O,半圆分别交BC、A
(2013•樊城区模拟)如图,已知△ABC内接于⊙O,弦AD交BC于E,过点D的切线MN交直线AB于M,交直线AC于N.
三角形ABC内接于圆O过点A作直线EF AB为直径则我们有角CAE=∠B反过来AB为直径∠CAE=∠B那么EF是圆O的切
(2014•吴江市模拟)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O交底边BC于D.
已知:△ABC内接于圆O,过点A作直线EF.若直线AB是非直径的弦,∠CAE=∠B,求证:EF是圆O的切线.