大师作文网急！请教一下“组合极值”类问题的一般方法(难度适用于“北约”数学)，也欢迎前辈复习建议，优秀有追加！
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/11/14 09:11:51
急！请教一下“组合极值”类问题的一般方法(难度适用于“北约”数学)，也欢迎前辈复习建议，优秀有追加！
诸位数学大神你们好！因为本人本周要参加今年的北约考试，其中有一类“组合极值"的问题经常出现又比较棘手，老师和标达给予的解答太过于针对性，没有普遍性。北约该类题与竞赛难度相比不大，题型也很单一，但是本人文科生，未受过专业竞赛训练，希望寻求解决应试的一般方法，最好能有一般步骤和思路。
以下给出近两年该类题型的例题，希望结合着给予解答！
2013.7.最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数
2012.6.在1.2.3……2012中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？
请大家认真回答，不要复制，问学急切，优秀另有加分，谢谢大家！
诸位数学大神你们好！因为本人本周要参加今年的北约考试，其中有一类“组合极值"的问题经常出现又比较棘手，老师和标达给予的解答太过于针对性，没有普遍性。北约该类题与竞赛难度相比不大，题型也很单一，但是本人文科生，未受过专业竞赛训练，希望寻求解决应试的一般方法，最好能有一般步骤和思路。
以下给出近两年该类题型的例题，希望结合着给予解答！
2013.7.最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数
2012.6.在1.2.3……2012中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？
请大家认真回答，不要复制，问学急切，优秀另有加分，谢谢大家！
可以这么跟你说，组合最值问题，属于非常规的问题，解决这类问题，目前尚无统一方法；否则，这类问题也就不会成为每年全国高中数学联赛加试的压轴题了。
对不同的题目要用不同的分析策略和方法，这个真的只能具体问题具体分析
求某个组合的最大（小）值，步骤倒是大致统一的。①构造；②证明
以你拿出来的问题为例，第⑴题
①首先构造n个数，让它们任意3个的和都是质数
②证明，任意(n+1)个数，一定有3个的和不是质数
然后就证完了
此题的分析过程如下
【分析】如果取了n个正整数，那么，最好都是奇数；否则，如果n个当中有偶数，那么，我取2奇1偶，它们的和就是偶数，显然不是质数。而3个奇数的和都是奇数，可以为质数。
再想，任意3个数的和要为质数，那么，不妨从每个数考虑除以3的余数来考虑（余0, 1, 2）
同一余数的数，最多只能有2个（如果有3个，那么3个数的和可以被3整除了）
如果我取了5个数，你会发现，那么，余0，余1，余2的数都有，这3个数的和也可以被3整除了。
所以，5个数肯定是不行的。
那么，最多只能取4个。
这就完成了”②证明“这一步，然后需要”①构造“
和为质数，那么你就设4个数为a, b, c, d，并且a < b < c < d
满足
a + b + c = x
a + b + d = y
a + c + d = z
b + c + d = w
然后，在100以内的奇质数里面选，x, y, z, w ∈ {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ……}
选的话可以去一点点尝试。就本题而言，把4个方程加起来，有
3 (a + b + c + d) = x + y + z + w
也就是，你选的4个质数(x, y, z, w)的和，要是3的倍数，那么解出来的a, b, c, d也肯定是整数了，然后验证一下是不是正整数
比如，你可以选(5, 7, 11, 13)，那么解出来的(a, b, c, d) = (-1, 1, 5, 7)，不合题意
再试试，选(11, 13, 17, 19)，解出来的是(a, b, c, d) = (1, 3, 7, 9)，合题意
当然，本题不止一组解
再比如，选(13, 17, 19, 23)，解出来的是(a, b, c, d) = (1, 5, 7, 11)，也是合题意的
于是本题解决。
组合最值问题中的自变量通常都是”整数“，”集合“，"图“等结构，往往是一些离散量。因此，最值问题很少用函数关系，或者一个解析式解决，这就决定了组合问题的不同特点。
而且，”构造“、”论证“两个方面要求的思路不同，需要从一个思路跳到另外一个思路，所以，这种问题很考察观察力、推理力、构造力，很考察”数学素养“。因此也成为了联赛、北约自招的爱考点（北约就是喜欢考数学素养，华约则不同）
这种题，就是多多的去尝试，多多的去做去看去感受吧。慢慢胆子就会大起来的。
如果要看的话，建议去看看“同余”、“整除”、“容斥原理”、“抽屉原理”。不要看的太难，尤其是“同余”，对解决这类问题的帮助很大。
第⑵题也是，按奇偶分类不可以（想想为什么），于是按模3的余数分类
{1, 4, 7, 10, ..., 2008, 2011}
{2, 5, 8, 11, ..., 2009, 2012}
{3, 6 ,9, 12, ..., 2010}
你在第1个集合任取2个，差一定是3的倍数，和一定不是3的倍数。因此，和不能被差整除
这就有671个数了。
完成了①构造，然后需要②证明672个是不可以的！
把这些数划分一下，每3个一划分，变成
{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}, ……{2008, 2009, 2010}, {2011, 2012}
这样有671个集合
如果你取了672个数，那么一定有两个数在同一集合，而这两个数的和肯定能被差整除。也就是672个数是不可以的。（上面用到了抽屉原理）
因此，最多只能取671个数。
所以，组合最值这种问题，多去做一下，感受感受，没什么统一方法可言，整数的问题，多观察
【注意】整除的问题，多从同余的角度考虑
再问： 你好"酷爱fc": 谢谢你细致的解答，它们可以抽象出是建立了{kn+X}的若干组然后分析。 因此是否可理解为素数、整除类问题大致可通过建立类似"3n，3n+1，3n+2“类同余模型分组然后进行讨论呢？ 如果是这样，如我举的例所示: 第一题您采用的是跨组取元素分析， 第二题则显然在组内讨论，然后再举出取另一组则不成立的原因 那么这种思路一般是如何得到的呢，能否再指出一下，谢谢！
再答： 没错，就是基于同余的分析 比如，这两题，都是基于除以3的余数（0, 1, 2），进行分类得到的分析 这种思路一般都是基于“余数”得到的思想，尤其在处理质数合数、整除的问题中应用很多 按模3的余数分类，应该是考察的最多的了；再就是模2的余数分类，也就是分奇偶，也考察的相当多。诸如模4、模5、模6、模8也可能会有，不过不多。 这种构造证明，尽可能多的去尝试、去探索，才能试出结果来（说白了，有一定的运气成分吧）。而且目前尚无普适性的方法，只有熟能生巧。
对不同的题目要用不同的分析策略和方法，这个真的只能具体问题具体分析
求某个组合的最大（小）值，步骤倒是大致统一的。①构造；②证明
以你拿出来的问题为例，第⑴题
①首先构造n个数，让它们任意3个的和都是质数
②证明，任意(n+1)个数，一定有3个的和不是质数
然后就证完了
此题的分析过程如下
【分析】如果取了n个正整数，那么，最好都是奇数；否则，如果n个当中有偶数，那么，我取2奇1偶，它们的和就是偶数，显然不是质数。而3个奇数的和都是奇数，可以为质数。
再想，任意3个数的和要为质数，那么，不妨从每个数考虑除以3的余数来考虑（余0, 1, 2）
同一余数的数，最多只能有2个（如果有3个，那么3个数的和可以被3整除了）
如果我取了5个数，你会发现，那么，余0，余1，余2的数都有，这3个数的和也可以被3整除了。
所以，5个数肯定是不行的。
那么，最多只能取4个。
这就完成了”②证明“这一步，然后需要”①构造“
和为质数，那么你就设4个数为a, b, c, d，并且a < b < c < d
满足
a + b + c = x
a + b + d = y
a + c + d = z
b + c + d = w
然后，在100以内的奇质数里面选，x, y, z, w ∈ {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ……}
选的话可以去一点点尝试。就本题而言，把4个方程加起来，有
3 (a + b + c + d) = x + y + z + w
也就是，你选的4个质数(x, y, z, w)的和，要是3的倍数，那么解出来的a, b, c, d也肯定是整数了，然后验证一下是不是正整数
比如，你可以选(5, 7, 11, 13)，那么解出来的(a, b, c, d) = (-1, 1, 5, 7)，不合题意
再试试，选(11, 13, 17, 19)，解出来的是(a, b, c, d) = (1, 3, 7, 9)，合题意
当然，本题不止一组解
再比如，选(13, 17, 19, 23)，解出来的是(a, b, c, d) = (1, 5, 7, 11)，也是合题意的
于是本题解决。
组合最值问题中的自变量通常都是”整数“，”集合“，"图“等结构，往往是一些离散量。因此，最值问题很少用函数关系，或者一个解析式解决，这就决定了组合问题的不同特点。
而且，”构造“、”论证“两个方面要求的思路不同，需要从一个思路跳到另外一个思路，所以，这种问题很考察观察力、推理力、构造力，很考察”数学素养“。因此也成为了联赛、北约自招的爱考点（北约就是喜欢考数学素养，华约则不同）
这种题，就是多多的去尝试，多多的去做去看去感受吧。慢慢胆子就会大起来的。
如果要看的话，建议去看看“同余”、“整除”、“容斥原理”、“抽屉原理”。不要看的太难，尤其是“同余”，对解决这类问题的帮助很大。
第⑵题也是，按奇偶分类不可以（想想为什么），于是按模3的余数分类
{1, 4, 7, 10, ..., 2008, 2011}
{2, 5, 8, 11, ..., 2009, 2012}
{3, 6 ,9, 12, ..., 2010}
你在第1个集合任取2个，差一定是3的倍数，和一定不是3的倍数。因此，和不能被差整除
这就有671个数了。
完成了①构造，然后需要②证明672个是不可以的！
把这些数划分一下，每3个一划分，变成
{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}, ……{2008, 2009, 2010}, {2011, 2012}
这样有671个集合
如果你取了672个数，那么一定有两个数在同一集合，而这两个数的和肯定能被差整除。也就是672个数是不可以的。（上面用到了抽屉原理）
因此，最多只能取671个数。
所以，组合最值这种问题，多去做一下，感受感受，没什么统一方法可言，整数的问题，多观察
【注意】整除的问题，多从同余的角度考虑
再问： 你好"酷爱fc": 谢谢你细致的解答，它们可以抽象出是建立了{kn+X}的若干组然后分析。 因此是否可理解为素数、整除类问题大致可通过建立类似"3n，3n+1，3n+2“类同余模型分组然后进行讨论呢？ 如果是这样，如我举的例所示: 第一题您采用的是跨组取元素分析， 第二题则显然在组内讨论，然后再举出取另一组则不成立的原因 那么这种思路一般是如何得到的呢，能否再指出一下，谢谢！
再答： 没错，就是基于同余的分析 比如，这两题，都是基于除以3的余数（0, 1, 2），进行分类得到的分析 这种思路一般都是基于“余数”得到的思想，尤其在处理质数合数、整除的问题中应用很多 按模3的余数分类，应该是考察的最多的了；再就是模2的余数分类，也就是分奇偶，也考察的相当多。诸如模4、模5、模6、模8也可能会有，不过不多。 这种构造证明，尽可能多的去尝试、去探索，才能试出结果来（说白了，有一定的运气成分吧）。而且目前尚无普适性的方法，只有熟能生巧。