大师作文网抽象代数里面"最大元"和"极大元"的根本区别是什么?
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 18:31:58
抽象代数里面"最大元"和"极大元"的根本区别是什么?
看到一个例题
A={6,24,36},R为“|”整除
则Cov R={<6,24>,<6,36>}
有极大元24,36,因为没有比他们更大的
没有最大元
无法理解,既然有24,36,那么36更大,是不是就是最大元?
看到一个例题
A={6,24,36},R为“|”整除
则Cov R={<6,24>,<6,36>}
有极大元24,36,因为没有比他们更大的
没有最大元
无法理解,既然有24,36,那么36更大,是不是就是最大元?
不是d~ 类似这种问题遇到困惑的时候,一定要回到定义好好弄清楚：
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设(A,≤)偏序集,B含于A；
①若y∈B满足任取x∈B,y≤x→x=y,则称y为B的极大元；(箭头表示“蕴含”)
②若y∈B满足任取x∈B,x≤y,则称y为B的最大元.
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易得最大元必是极大元,但极大元不一定是最大元,应注意极大元和最大元的区别.
最大元是B中最大的元素,它与B中其它元素都可比；而极大元不一定与B中其它元素都可比,只要没有比它大的元素,它就是极大元.对于有穷集合B,极大元一定存在,但最大元不一定存在.最大元如果存在一定是唯一的,但极大元可能有多个.
所以根据定义以及上面的分析,看回例子：对偏序集({6,24,36},|),一看就知道只有6|24,6|36,但24不能整除36,所以36不是“最大元”,因为存在A中元素24使得“24|36(|为此处的偏序关系)”即并非所有A中元素都整除36；所以36只是A的极大元,意思是“只要x∈A,那么36|x定可以推出x=36”,这一点当然满足~ 而24也满足,故24也是A的“极大元”,但不是“最大元”,因为36不整除24.
把所有偏序关系Cov R={,}写出来用意也在此,没看见和在里面吧?所以36和24都不是（A,|）的最大元~
再举个例子,如果A={2,6,12,36}的话,对于偏序集(A,|),那么36就真正是A的最大元了~ 因为2,6,12,36都能整除36. 进一步易得A的极大元和最大元都是36.
ps：之前你提的交换群应用的问题,这个不太了解,但肯定交换群在交换代数,非交换代数,代数几何,交换几何,非交换几何,进而物理学中的弦论(String Theory)都有很重要的地位~ 交换群理论还没学,以后肯定要
好好整一下的~
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设(A,≤)偏序集,B含于A；
①若y∈B满足任取x∈B,y≤x→x=y,则称y为B的极大元；(箭头表示“蕴含”)
②若y∈B满足任取x∈B,x≤y,则称y为B的最大元.
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易得最大元必是极大元,但极大元不一定是最大元,应注意极大元和最大元的区别.
最大元是B中最大的元素,它与B中其它元素都可比；而极大元不一定与B中其它元素都可比,只要没有比它大的元素,它就是极大元.对于有穷集合B,极大元一定存在,但最大元不一定存在.最大元如果存在一定是唯一的,但极大元可能有多个.
所以根据定义以及上面的分析,看回例子：对偏序集({6,24,36},|),一看就知道只有6|24,6|36,但24不能整除36,所以36不是“最大元”,因为存在A中元素24使得“24|36(|为此处的偏序关系)”即并非所有A中元素都整除36；所以36只是A的极大元,意思是“只要x∈A,那么36|x定可以推出x=36”,这一点当然满足~ 而24也满足,故24也是A的“极大元”,但不是“最大元”,因为36不整除24.
把所有偏序关系Cov R={,}写出来用意也在此,没看见和在里面吧?所以36和24都不是（A,|）的最大元~
再举个例子,如果A={2,6,12,36}的话,对于偏序集(A,|),那么36就真正是A的最大元了~ 因为2,6,12,36都能整除36. 进一步易得A的极大元和最大元都是36.
ps：之前你提的交换群应用的问题,这个不太了解,但肯定交换群在交换代数,非交换代数,代数几何,交换几何,非交换几何,进而物理学中的弦论(String Theory)都有很重要的地位~ 交换群理论还没学,以后肯定要
好好整一下的~