求方程y''＋(y')²＝2e∧(-y)的通解!

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：综合作业时间：2024/11/11 23:47:52

解析：
方法一：令y'＝p,则y''＝p*dp/dy,得
p*dp/dy＋p²＝2e∧(-y)
再令p²＝u,则2p*dp/dy＝du/dy.
原方程化为：du/dy＋2u＝4e∧(-y)
这是一阶线性微分方程,由公式可得
u＝e∧(-∫2dy)*［∫4e∧(-y)*e∧(∫2dy)dy＋C1］＝e∧(-2y)（4e∧y＋C1）
从而 y'＝p＝±e∧(-y)√(4e∧y＋C1)
分离变量得
(e∧ydy)/√(4e∧y＋C1)＝±dx
积分得√(4e∧y＋C1)＝±2x＋C2
即4e∧y＋C1＝4x²±4C2x＋C2²
e∧y＝x²＋C1'x＋C2'
方法二：作变换：令e∧y＝u,y＝lnu
则 y'＝(1/u)*u',y''＝(－1/u²)(u')²＋(1/u)*u''
带入原方程得 u''＝2
两次积分得
u＝x²＋C1x＋C2
故原方程的通解为
e∧y＝x²＋C1x＋C2

求微积分方程y'+y=e^-x的通解求方程y”+3y’+2y=e^(-x)的通解求微积分方程y'-2y=e^x的通解求y'=e∧(x+y)的通解求方程xdy+dx=e^y dx的通解求微分方程y'=e^(2x-y)的通解（x-y^2)y'=1,求方程的通解求微分方程y''-y'+2y=e^X通解已知y(x)=e^x是方程(2x-1)y''-(2x+1)y'+2y=0的一个解,求此方程的通解. y''-2y'+y=e^-x的通解求方程dy/dx=e∧(x+y的通解) y''＋y'－2y＝0的通解