高数 试证:当X>0时,有1/1+x
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/05 15:34:39
高数 试证:当X>0时,有1/1+x
证明:∵x>0
∴函数f(u)=lnu在
1)闭区间[x,x+1]连续
2)开区间(x,x+1)可导
从而,由微分中值定理知:
在开区间(x,x+1)内至少存在一点c使得
f′(c)=[f(x+1)-f(x)]/[(x+1)-x],其中,x<c<x+1
∵f′(u)=1/u∴f′(c)=1/c
又∵x<c<x+1
∴1/(x+1)<1/c<1/x
∴1/(x+1)<[f(x+1)-f(x)]/[(x+1)-x]<1/x
即1/(x+1)<【ln(x+1)-lnx】/【(x+1)-x】<1/x
∴1/1+x
∴函数f(u)=lnu在
1)闭区间[x,x+1]连续
2)开区间(x,x+1)可导
从而,由微分中值定理知:
在开区间(x,x+1)内至少存在一点c使得
f′(c)=[f(x+1)-f(x)]/[(x+1)-x],其中,x<c<x+1
∵f′(u)=1/u∴f′(c)=1/c
又∵x<c<x+1
∴1/(x+1)<1/c<1/x
∴1/(x+1)<[f(x+1)-f(x)]/[(x+1)-x]<1/x
即1/(x+1)<【ln(x+1)-lnx】/【(x+1)-x】<1/x
∴1/1+x
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