大师作文网证明余弦定理
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 10:20:47
证明余弦定理
平面向量证法 ∵如图,有a+b=c (平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）
∴c·c=(a+b)·(a+b) ∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ) （以上粗体字符表示向量） 又∵Cos(π-θ)=-Cosθ ∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式） 再拆开,得c2=a2+b2-2*a*b*CosC 即 CosC=(a2+b2-c2)/2*a*b 同理可证其他,而下面的CosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下.
平面几何证法
在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC2=AD2+DC2 b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2 b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB)2*c2 b2=(sinB2+cosB2)*c2-2ac*cosB+a2 b2=c2+a2-2ac*cosB cosB=(c2+a2-b2)/2ac
∴c·c=(a+b)·(a+b) ∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ) （以上粗体字符表示向量） 又∵Cos(π-θ)=-Cosθ ∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式） 再拆开,得c2=a2+b2-2*a*b*CosC 即 CosC=(a2+b2-c2)/2*a*b 同理可证其他,而下面的CosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下.
平面几何证法
在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC2=AD2+DC2 b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2 b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB)2*c2 b2=(sinB2+cosB2)*c2-2ac*cosB+a2 b2=c2+a2-2ac*cosB cosB=(c2+a2-b2)/2ac