大师作文网求分析 无穷级数的敛散性
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/10/01 17:16:35
求分析 无穷级数的敛散性
设正项级数Un和Vn,其中Un收敛,Vn发散,分析Un-Vn的敛散性.有以下两种分析,那种是对的,为什么?
1.Un-Vn小于等于Un,Un收敛,故Un-Vn收敛.
2.Un收敛,Vn发散,收敛加减发散等于发散,故Un-Vn发散.
（概念混乱,求分析~）
设正项级数Un和Vn,其中Un收敛,Vn发散,分析Un-Vn的敛散性.有以下两种分析,那种是对的,为什么?
1.Un-Vn小于等于Un,Un收敛,故Un-Vn收敛.
2.Un收敛,Vn发散,收敛加减发散等于发散,故Un-Vn发散.
（概念混乱,求分析~）
第二种才是对的
可以用反证法：
假设∑(Un-Vn)收敛
又有∑Un收敛
那么,∑Un-∑(Un-Vn)=∑Vn必收敛,与Vn发散矛盾!
因此,∑(Un-Vn)发散
至于第一种为什么是错的呢?
因为通项Un趋于0,Vn不趋于0,那么Un-Vn自然不会趋于0
那么更不要说收敛了
比较判别法只是对正项级数(或更广泛,对同符号数项级数)适用
但是,∑(Un-Vn)根本不是正项级数
给个例子：
∑1/n^2收敛；∑{[(-1)^n]+2}发散
明显：∑ (1/n^2)-{[(-1)^n]+2}不是正项级数而且发散
有不懂欢迎追问
再问： 挺有道理的，谢谢哈。那什么时候能用比较判敛法，不能用时要怎么办。比如这题……
再答： 对于一个数项级数（通项是单项式时） 第一步，是看通项是否趋于0，如果不是直接就是发散（这是级数收敛的必要条件） 第二步，看是否为正项级数，因为正项级数的性质比较好，要判断敛散性，可以用： Cauchy积分判别法；p级数性质；比较判别法(或其极限形式)；Cauchy根值法(或其极限形式)；D'Alembert比值法(或其极限形式)；Raabe判别法 第三步，这肯定是个一般项级数，特殊的可以用Leibniz判别法，更一般的只能用： Dirichlet判别法；Abel判别法 当通项为多项式时 应该用假设法，对每一单项进行讨论 那么：收敛±收敛=收敛 收敛±发散=发散 像题目这题：是多项式，先分开每一项来讨论 sin(na)/n^2……用Dirichlet判别法，即有收敛 1/n^(1/2)……D'Alembert比值法的极限形式(与1/n比较)，即有发散 （其实可以用p级数直接判断） 那么，收敛+发散=发散 即，级数发散 有不懂欢迎追问
可以用反证法：
假设∑(Un-Vn)收敛
又有∑Un收敛
那么,∑Un-∑(Un-Vn)=∑Vn必收敛,与Vn发散矛盾!
因此,∑(Un-Vn)发散
至于第一种为什么是错的呢?
因为通项Un趋于0,Vn不趋于0,那么Un-Vn自然不会趋于0
那么更不要说收敛了
比较判别法只是对正项级数(或更广泛,对同符号数项级数)适用
但是,∑(Un-Vn)根本不是正项级数
给个例子：
∑1/n^2收敛；∑{[(-1)^n]+2}发散
明显：∑ (1/n^2)-{[(-1)^n]+2}不是正项级数而且发散
有不懂欢迎追问
再问： 挺有道理的，谢谢哈。那什么时候能用比较判敛法，不能用时要怎么办。比如这题……
再答： 对于一个数项级数（通项是单项式时） 第一步，是看通项是否趋于0，如果不是直接就是发散（这是级数收敛的必要条件） 第二步，看是否为正项级数，因为正项级数的性质比较好，要判断敛散性，可以用： Cauchy积分判别法；p级数性质；比较判别法(或其极限形式)；Cauchy根值法(或其极限形式)；D'Alembert比值法(或其极限形式)；Raabe判别法 第三步，这肯定是个一般项级数，特殊的可以用Leibniz判别法，更一般的只能用： Dirichlet判别法；Abel判别法 当通项为多项式时 应该用假设法，对每一单项进行讨论 那么：收敛±收敛=收敛 收敛±发散=发散 像题目这题：是多项式，先分开每一项来讨论 sin(na)/n^2……用Dirichlet判别法，即有收敛 1/n^(1/2)……D'Alembert比值法的极限形式(与1/n比较)，即有发散 （其实可以用p级数直接判断） 那么，收敛+发散=发散 即，级数发散 有不懂欢迎追问