大师作文网求助数列极限的严格定义的概念
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 10:50:56
求助数列极限的严格定义的概念
定义 设有数列Xn 和常数A ,如果对于任意给定的正数E ,总存在自然数N ,使得当n>N 时,不等式｜Xn-A ｜N 时”,那我每次取N为1不就好了,反正n>1包涵所有了,就是这里不明白,到底有什么意义?
定义 设有数列Xn 和常数A ,如果对于任意给定的正数E ,总存在自然数N ,使得当n>N 时,不等式｜Xn-A ｜N 时”,那我每次取N为1不就好了,反正n>1包涵所有了,就是这里不明白,到底有什么意义?
数列极限定义的三个关键词
在高中代数课本中我们会遇到许多有关极限的问题,对于这些问题同学们都会做,但问一问什么叫极限,怎样理解,就会有许多同学感到很模糊,理解不清楚,从而导致了对某些题型的错误解答．如：
只要n＞N,就恒有|an－1|＜ε,
故此数列有极限,而且极限为1．
例2 数列{(－1)n}有无极限?有则求之．
解 对于an＝(－1)n,当n为偶数时an＝1,当n为奇数时an＝1,给定任意小的正数ε．
∵|an－1|＝|1－1|＝0＜ε,(当n为偶数时)
|an－(－1)|＝|－1－(－1)|＝0＜ε,(当n为奇数时)
∴此数列有极限,且：
例3 数列{nV}有无极限?有则求之．
解 数列{nV}为：1V,2V,3V,……nV……给定任意小的正数ε．
∵an＝nV,∴|an－nV|＝|nV－nV|＝0,
∴恒有|an－nV|＝0＜ε,故此数列有极限,且极限为nV．
让我们先回忆一下数列极限的定义：“一般地,对于无穷数列,如果存在一个常数A,对于预先指定的任何正数ε,都能在数列中找到一项aN,使得在这一项后面的所有的项与A的差的绝对值都小于ε(即当n＞N时,|an－A|＜ε恒成立),就将常数A叫做数列{an}的极限．”注意到定义中加“•”的“无穷”、“一个”、“常数”,你就可以较快地判断出以上三个问题的解法均不正确,例1中的数列不是无穷数列；例2中的数列虽为无穷数列,但一个无穷数列根本不可能有两个极限；例3中求得的极限nV根本不是常数．所以正确回答都是“此数列无极限”．对于无穷数列的极限来说：“无穷数列”、“一个”、“常数”三个条件缺一不可,否则,所求得的极限均不正确．
以上的三个小例子,是否有助于你对数列极限定义的理解?
在高中代数课本中我们会遇到许多有关极限的问题,对于这些问题同学们都会做,但问一问什么叫极限,怎样理解,就会有许多同学感到很模糊,理解不清楚,从而导致了对某些题型的错误解答．如：
只要n＞N,就恒有|an－1|＜ε,
故此数列有极限,而且极限为1．
例2 数列{(－1)n}有无极限?有则求之．
解 对于an＝(－1)n,当n为偶数时an＝1,当n为奇数时an＝1,给定任意小的正数ε．
∵|an－1|＝|1－1|＝0＜ε,(当n为偶数时)
|an－(－1)|＝|－1－(－1)|＝0＜ε,(当n为奇数时)
∴此数列有极限,且：
例3 数列{nV}有无极限?有则求之．
解 数列{nV}为：1V,2V,3V,……nV……给定任意小的正数ε．
∵an＝nV,∴|an－nV|＝|nV－nV|＝0,
∴恒有|an－nV|＝0＜ε,故此数列有极限,且极限为nV．
让我们先回忆一下数列极限的定义：“一般地,对于无穷数列,如果存在一个常数A,对于预先指定的任何正数ε,都能在数列中找到一项aN,使得在这一项后面的所有的项与A的差的绝对值都小于ε(即当n＞N时,|an－A|＜ε恒成立),就将常数A叫做数列{an}的极限．”注意到定义中加“•”的“无穷”、“一个”、“常数”,你就可以较快地判断出以上三个问题的解法均不正确,例1中的数列不是无穷数列；例2中的数列虽为无穷数列,但一个无穷数列根本不可能有两个极限；例3中求得的极限nV根本不是常数．所以正确回答都是“此数列无极限”．对于无穷数列的极限来说：“无穷数列”、“一个”、“常数”三个条件缺一不可,否则,所求得的极限均不正确．
以上的三个小例子,是否有助于你对数列极限定义的理解?