如何用增广矩阵判断方程解个数?

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/16 12:29:56

如何用增广矩阵判断方程解个数?
例如：
4a+2c+e=0
2b+d=0
7a+b-c-d-e=0
2a+3b+2c+d=0
6a+3b+c=0
如何利用增广矩阵进行适当变换验证上述方程组无解?
没学过增广矩阵,

这个是齐次方程组,肯定有解.
比如a=b=c=d=e=0就是解.
再问：老师不好意思，我忘记了一个条件是abcde不全为0
原题其实是一道北约的自主招生题：以根号2和一减三次根二为两根的的有理系数多项式的次数最低多少
解析是设存在次数不超过4的有理系数多项式f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,
abcde不全为0
然后把两个根带进去得到上面的方程组
然后说利用增光矩阵进行适当变换可以验证无解，这个不会了
非常感谢老师！等会追加
再答： (4 0 2 0 1
0 2 0 1 0
7 1 -1 -1 -1
2 3 2 1 0
6 3 1 0 0)
等价于
(1 0 1/2 0 1/4
0 1 0 1/2 0
0 1 -9/2 -1 -11/4
0 3 1 1 -1/2
0 3 -2 0 -3/2)
等价于
(1 0 1/2 0 1/4
0 1 0 1/2 0
0 0 -9/2 -3/2 -11/4
0 0 1 -1/2 -1/2
0 0 -2 -3/2 -3/2)
等价于
(1 0 1/2 0 1/4
0 1 0 1/2 0
0 0 1 -1/2 -1/2
0 0 -9/2 -3/2 -11/4
0 0 -2 -3/2 -3/2)
等价于
(1 0 1/2 0 1/4
0 1 0 1/2 0
0 0 1 -1/2 -1/2
0 0 0 -3/2 10
0 0 0 -5/2 -5/2)
等价于
(1 0 1/2 0 1/4
0 1 0 1/2 0
0 0 1 -1/2 -1/2
0 0 0 -3 20
0 0 0 1 1)
等价于
(1 0 1/2 0 1/4
0 1 0 1/2 0
0 0 1 -1/2 -1/2
0 0 0 1 1
0 0 0 0 23)
可以发现矩阵的秩=5=未知数个数
所以
方程只有零解，与a,b,c,d,e不等于矛盾，即方程无解。
再问：老师我没学过增广矩阵，所以不太理解那些变换是怎么等价于的，能说一下吗？不过如果实在太复杂就算了吧，后来发现可以用凑的方法做这题。(x^2-2)[(x-1)^3+2],展开就是五项。
再答：确实有点复杂，你借本大学的《线性代数》，看看初等变换那部分即可。

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