作业帮 > 数学 > 作业

圆内接四边形的两组对边分别延长交于点P,Q.PM,QN分别为圆的切线.证明:PM²+QN²=PQ&#

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/18 18:41:13
圆内接四边形的两组对边分别延长交于点P,Q.PM,QN分别为圆的切线.证明:PM²+QN²=PQ²
图:

两条辅助线是我自己画的,不一定对,不要被它们困住了=
圆内接四边形的两组对边分别延长交于点P,Q.PM,QN分别为圆的切线.证明:PM²+QN²=PQ&#

证明:
过B点作直线BE交PQ于E,使∠PBE=∠AQP,连接DE,CE
则A,B,E,Q四点共圆(外角等于内对角,四点共圆)
∴PB×PA=PE×PQ
   ∠BEP=∠A(四点共圆,外角等于内对角)
∵A,B,C,D四点共圆
∴∠BCP=∠A,∠CDQ=∠ABC
∴∠BEP=∠BCP
∴B,C,E,P四点共圆
∴∠CEP=∠ABC
∴∠CEP=∠CDQ
∴C,D,E,Q四点共圆
∴∠DEQ=∠DCQ=∠BCP=∠A
∴A,D,E,P四点共圆
∴QD×QA=QE×PQ
∵PM和QN是切线
∴PM²=PB×PA
   QN²=QD×QA
∴PM²+QN²=PB×PA+QD×QA
                  =PE×PQ+QE×PQ
                  =PQ×(PE+QE)
                  =PQ²