大师作文网一道关于改变二次积分顺序的题
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/24 23:24:17
一道关于改变二次积分顺序的题
问：改变下列二次积分的顺序
∫（从-π/4到π/2）dθ∫（从0到2cosθ）f(rcosθ,rsinθ)rdr
答：因为这是极坐标中的二次积分,我们要还原积分区域,然后先找出r的范围,再假设r一定,去找θ的范围
如图
这个视频不完整,想请高手帮忙算一下这个题的最终结果
是：
∫（0到2）dr∫（-π/4到π/2）f（rcosθ,rsinθ）dθ
直接这样换过来吗?总觉得不对
many thx..
问：改变下列二次积分的顺序
∫（从-π/4到π/2）dθ∫（从0到2cosθ）f(rcosθ,rsinθ)rdr
答：因为这是极坐标中的二次积分,我们要还原积分区域,然后先找出r的范围,再假设r一定,去找θ的范围
如图
这个视频不完整,想请高手帮忙算一下这个题的最终结果
是：
∫（0到2）dr∫（-π/4到π/2）f（rcosθ,rsinθ）dθ
直接这样换过来吗?总觉得不对
many thx..
首先画出积分区域,以原点为圆心画圆弧,
可以看到,当0≤r≤√2时,
圆弧与积分区域的交点,下限是θ=-π/4
上限为arccosr/2
当√2≤r≤2时,
圆弧与积分区域的交点,下限是-arccosr/2
上限是arccosr/2
所以交换积分区域后就是
∫(0,√2)rdr∫(-π/4,arccosr/2)dθ+∫(√2,2)rdr∫(-arccosr/2.arccosr/2)f(rcosθ.rsinθ)dθ
可以看到,当0≤r≤√2时,
圆弧与积分区域的交点,下限是θ=-π/4
上限为arccosr/2
当√2≤r≤2时,
圆弧与积分区域的交点,下限是-arccosr/2
上限是arccosr/2
所以交换积分区域后就是
∫(0,√2)rdr∫(-π/4,arccosr/2)dθ+∫(√2,2)rdr∫(-arccosr/2.arccosr/2)f(rcosθ.rsinθ)dθ