大师作文网请教一道立体解析几何题
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 00:16:07
请教一道立体解析几何题
已知一个点（x,y,z）和一个平面ax+by+cz+d=0.在这个平面上建立一个新的二维直角坐标系,其中以原点在这个平面上的投影为新的原点,以x轴的投影为新的x轴,单位长度不变.求这个点(x,y,z)在平面上的投影在新的二维坐标系中的坐标
麻烦把向量在平面上投影那部分再讲详细一点
已知一个点（x,y,z）和一个平面ax+by+cz+d=0.在这个平面上建立一个新的二维直角坐标系,其中以原点在这个平面上的投影为新的原点,以x轴的投影为新的x轴,单位长度不变.求这个点(x,y,z)在平面上的投影在新的二维坐标系中的坐标
麻烦把向量在平面上投影那部分再讲详细一点
这个问题其实就是求向量(x,y,z)在平面pi：ax+by+cz+d=0上的投影
我们知道一个点的坐标大小其实是原点到这个点的向量在三个轴上的投影长度组成的,那么我们如果可以求出新坐标系里面的原点和XY轴的方向向量,那么问题也就解决了
首先可以得到平面的法向量 n = (a,b,c),
那么X、Y轴的方向向量分别为 (0,1,0)x(a,b,c)和(1,0,0)x(a,b,c),（x表示叉乘）即(c,0,-a)、(0,-c,b).
原点在平面pi上的投影可以利用直线和平面交求得：
过原点的和平面pi垂直的直线向量式：P = k*n,n是平面pi的法向量
平面pi的向量式：P*n = -d（*表示点乘）
于是得到 k*n*n = -d,将n带入,可以得到 k = -d / (a*a+b*b+c*c)
由此新坐标系中的原点也就求出来了,为 P0 = k*n
之后要做的就是得到从P0到要求的点的向量在新坐标系中X、Y轴上的投影,投影的过程还是向量点乘.
就这样.
我们知道一个点的坐标大小其实是原点到这个点的向量在三个轴上的投影长度组成的,那么我们如果可以求出新坐标系里面的原点和XY轴的方向向量,那么问题也就解决了
首先可以得到平面的法向量 n = (a,b,c),
那么X、Y轴的方向向量分别为 (0,1,0)x(a,b,c)和(1,0,0)x(a,b,c),（x表示叉乘）即(c,0,-a)、(0,-c,b).
原点在平面pi上的投影可以利用直线和平面交求得：
过原点的和平面pi垂直的直线向量式：P = k*n,n是平面pi的法向量
平面pi的向量式：P*n = -d（*表示点乘）
于是得到 k*n*n = -d,将n带入,可以得到 k = -d / (a*a+b*b+c*c)
由此新坐标系中的原点也就求出来了,为 P0 = k*n
之后要做的就是得到从P0到要求的点的向量在新坐标系中X、Y轴上的投影,投影的过程还是向量点乘.
就这样.