设函数f(x)=lnx-ax(a∈R)(e=2.718 28…是自然对数的底数).
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/09 00:44:04
设函数f(x)=lnx-ax(a∈R)(e=2.718 28…是自然对数的底数).
(Ⅰ)判断f(x)的单调性;
(Ⅱ)当f(x)<0在(0,+∞)上恒成立时,求a的取值范围;
(Ⅲ)证明:当x∈(0,+∞)时,
(Ⅰ)判断f(x)的单调性;
(Ⅱ)当f(x)<0在(0,+∞)上恒成立时,求a的取值范围;
(Ⅲ)证明:当x∈(0,+∞)时,
x+1 |
e
(Ⅰ)∵f(x)=lnx-ax,
∴f′(x)= 1 x-a, 又函数f(x)的定义域为(0,+∞), 当a≤0时,f′(x)>0,此时f(x)在(0,+∞)上是增函数; 当a>0时,x∈(0, 1 a)时,f′(x)>0,此时f(x)在(0, 1 a)上是增函数; x∈( 1 a,+∞)时,f′(x)<0,此时f(x)在( 1 a,+∞)上是减函数; 综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上是增函数; 当a>0时,f(x)在(0, 1 a)上是增函数,f(x)在( 1 a,+∞)上是减函数; (Ⅱ) 当f(x)<0在(0,+∞)上恒成立, 即a> lnx x在(0,+∞)上恒成立, 设g(x)= lnx x,则g′(x)= 1−lnx x2, 当x∈(0,e)时,g′(x)>0,g(x)为增函数; 当x∈(e,+∞)时,g′(x)<0,g(x)为减函数. 故当x=e时,g(x)取得极大值,也为最大值,且为 1 e, 所以a的取值范围是( 1 e,+∞); (Ⅲ)要证当x∈(0,+∞)时, x+1 ex(1+x) 1 x<e, 可设t=1+x,t∈(1,+∞), 只要证t1+ 1 t−1<et,两边取以e为底的对数, 得 t t−1lnt<lnet,即lnt<t-1, 由(Ⅰ)当a=1时的情况得f(x)=lnx-x的最大值为-1,此时x=1, 所以当t∈(1,+∞)时lnt-t<-1, 即得lnt<t-1,所以原不等式成立.
已知函数 f(x)=ax+lnx,其中a为常数,设e为自然对数的底数.
设a∈R 求函数f(x)=e^-x(a+ax-x²)(e为自然对数的底数)的单调区间与极值
设函数f(x)=e^x+x-a(a∈R,e为自然对数的底数)
已知a∈R,函数f(x)=ax+lnx−1,g(x)=(lnx-1)ex+x(其中e为自然对数的底数).
已知函数f(x)=ax-lnx. ,g(x)=lnx/x,定义域是(0,e],e是自然对数的底数,a属于R
已知a属于R,函数f(x)=a/x+lnx-1,g(x)=(lnx-1)e^x+x(其中e为自然对数的底数)
已知函数g(x)=ex-1-ax,a∈R,e是自然对数的底数.
已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)e-x(x∈R,e为自然对数的底数).
已知函数f(x)=ax-ln(-x),x∈(-e,0)其中e是自然对数的底数,a∈R
设a∈R,函数f(x)=e^-x/2(ax^2+a+1),其中e是自然对数的底数,f'(x)等于多少?
已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数,设e为自然对数的底数
高中数学函数题 设a∈R,函数f(x)=e^-x(x^2+ax+1),其中e是自然对数的底数.
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