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设a>0,试问a取何值时y=a+(1/a)-根号下a²+(1/a²)+1的值最大,最大值为多少

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/06 11:16:54
设a>0,试问a取何值时y=a+(1/a)-根号下a²+(1/a²)+1的值最大,最大值为多少
设a>0,试问a取何值时y=a+(1/a)-根号下a²+(1/a²)+1的值最大,最大值为多少
y=a+1/a-√(a²+1/a²+1)
令t=a+1/a
∵a>0,∴a+1/a≥2√(a*1/a)=2
当a=1时,取等号
∴t≥2
∴y=t-√(t²-1)
=1/[t+√(t²-1)] 【分子有理化】
∵t,和√(t²-1)均是[2,+∞)上的增函数
∴t+√(t²-1) 是关于t的增函数
∴y=1/[t+√(t²-1)] 是减函数
∴t=2时,即a=1时,y取得最大值2-√3
再问: 若没学过增函数怎么做,还有更简便的方法么
再答: 你不会是初中生吗? ∵t≥2时 ,t+√(t²-1)随着t的增大而增大 ∴1/[t+√(t²-1)]随着t的增大而增小 ∴t最小时,y最大 即t=2时,y最大