大师作文网柯西不等式是什么在高二不等式的证明中应该怎么应用?
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/06 11:03:54
柯西不等式是什么在高二不等式的证明中应该怎么应用?
不要百度百科的……
具体怎么列式子?
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具体怎么列式子?
一.公式基本结构
（a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn）2≤（a12+ a22+a32 +…+an2）(b12 +b22+b32+…+bn2)
当且仅当 时等号成立
二阶形式（a1b1+a2b2）2≤（a12+ a22）(b12 +b22) 当且仅当 时等号成立
三阶形式（a1b1+a2b2+a3b3）2≤（a12+ a22+a32）(b12 +b22+b32)
当且仅当 时等号成立
二．证明
先证明较简单的情况（以三阶形式为例,用构造法证明）
构造f(x) =（a12+ a22+a32）x2+2（a1b1+a2b2+a3b3）x+(b12 +b22+b32)
=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+(a3x+b3)2≥0
△=4（a1b1+a2b2+a3b3）2-4（a12+ a22+a32）(b12 +b22+b32)
对于任意的x∈R等式恒成立,∴△≤0,∴当且仅当 时,取“=”
同理我们可以给出柯西不等式的证明方法：
（a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn）2≤（a12+ a22+a32 +…+an2）(b12 +b22+b32+…+bn2)
当且仅当 时等号成立
二阶形式（a1b1+a2b2）2≤（a12+ a22）(b12 +b22) 当且仅当 时等号成立
三阶形式（a1b1+a2b2+a3b3）2≤（a12+ a22+a32）(b12 +b22+b32)
当且仅当 时等号成立
二．证明
先证明较简单的情况（以三阶形式为例,用构造法证明）
构造f(x) =（a12+ a22+a32）x2+2（a1b1+a2b2+a3b3）x+(b12 +b22+b32)
=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+(a3x+b3)2≥0
△=4（a1b1+a2b2+a3b3）2-4（a12+ a22+a32）(b12 +b22+b32)
对于任意的x∈R等式恒成立,∴△≤0,∴当且仅当 时,取“=”
同理我们可以给出柯西不等式的证明方法：