如何理解贝叶斯估计?

如何理解贝叶斯估计?

贝叶斯理论
1.贝叶斯法则
机器学习的任务：在给定训练数据D时,确定假设空间H中的最佳假设.
最佳假设：一种方法是把它定义为在给定数据D以及H中不同假设的先验概率的有关知识下的最可能假设.贝叶斯理论提供了一种计算假设概率的方法,基于假设的先验概率、给定假设下观察到不同数据的概率以及观察到的数据本身.
2.先验概率和后验概率
用P(h)表示在没有训练数据前假设h拥有的初始概率.P(h)被称为h的先验概率.先验概率反映了关于h是一正确假设的机会的背景知识如果没有这一先验知识,可以简单地将每一候选假设赋予相同的先验概率.类似地,P(D)表示训练数据D的先验概率,P(D|h)表示假设h成立时D的概率.机器学习中,我们关心的是P(h|D),即给定D时h的成立的概率,称为h的后验概率.
3.贝叶斯公式
贝叶斯公式提供了从先验概率P(h)、P(D)和P(D|h)计算后验概率P(h|D)的方法
p(h|D)=P(D|H)*P(H)/P(D)
P(h|D)随着P(h)和P(D|h)的增长而增长,随着P(D)的增长而减少,即如果D独立于h时被观察到的可能性越大,那么D对h的支持度越小.
4.极大后验假设
学习器在候选假设集合H中寻找给定数据D时可能性最大的假设h,h被称为极大后验假设（MAP）
确定MAP的方法是用贝叶斯公式计算每个候选假设的后验概率,计算式如下:
h_map=argmax P(h|D)=argmax (P(D|h)*P(h))/P(D)=argmax P(D|h)*p(h) (h属于集合H)
最后一步,去掉了P(D),因为它是不依赖于h的常量.
5.极大似然假设
在某些情况下,可假定H中每个假设有相同的先验概率,这样式子可以进一步简化,只需考虑P(D|h)来寻找极大可能假设.
h_ml = argmax p(D|h) h属于集合H
P(D|h)常被称为给定h时数据D的似然度,而使P(D|h)最大的假设被称为极大似然假设.
6.举例
一个医疗诊断问题
有两个可选的假设：病人有癌症、病人无癌症
可用数据来自化验结果：正+和负-
有先验知识：在所有人口中,患病率是0.008
对确实有病的患者的化验准确率为98%,对确实无病的患者的化验准确率为97%
总结如下
P(cancer)=0.008,P(cancer)=0.992
P(+|cancer)=0.98,P(-|cancer)=0.02
P(+|cancer)=0.03,P(-|cancer)=0.97
问题：假定有一个新病人,化验结果为正,是否应将病人断定为有癌症?求后验概率P(cancer|+)和P(cancer|+)
因此极大后验假设计算如下:
P(+|cancer)P(cancer)=0.0078
P(+|cancer)P(cancer)=0.0298
hMAP=cancer
确切的后验概率可将上面的结果归一化以使它们的和为1
P(canner|+)=0.0078/(0.0078+0.0298)=0.21
P(cancer|-)=0.79
贝叶斯推理的结果很大程度上依赖于先验概率,另外不是完全接受或拒绝假设,只是在观察到较多的数据后增大或减小了假设的可能性.