已知:F(X)+F(13/42)=F(1/6)+F(1/7);求证:F(X)是周期函数.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/30 01:32:03
已知:F(X)+F(13/42)=F(1/6)+F(1/7);求证:F(X)是周期函数.
因为对任何x∈R,有
f(x+13/42)+f(x)=f(x+1/6)+f(x+1/7),
故f(x+7/42)-f(x)=f(x+13/42)-f(x+6/42)
````````````````=f(x+19/43)-f(x+12/42)
````````````````=……=f(x+49/42)-f(x+42/42).
即f(x+42/42)-f(x)=f(x+49/42)-f(x+7/42)……(1)
同样,有
f(x+7/42)-f(x+1/42)=f(x+14/42)-f(x+8/42)
```````````````````=f(x+21/42)-f(x+15/42)
```````````````````=……=f(x+49/42)-f(x+43/42)-f(x)
即f(x+49/42)-f(x)=f(x+43/42)-f(x+1/42)……(2)
由(1)(2),得
f(x+42/42)-f(x)=f(x+43/42)-f(x+1/42)
```````````````=f(x+44/42)-f(x+2/42)
```````````````=……=f(x+84/42)-f(x+42/42),
即f(x+1)-f(x)=f(x+2)-f(x+1).
因此,f(x+n)=f(x)+n[f(x+1)-f(x)]对所有n∈N成立.
又因为对所有x∈R,|f(x)|≤1,即f(x)有界,故只有f(x+1)-f(x)≡0.
因此对所有x∈R,f(x+1)=f(x),即f(x)为周期函数.
f(x+13/42)+f(x)=f(x+1/6)+f(x+1/7),
故f(x+7/42)-f(x)=f(x+13/42)-f(x+6/42)
````````````````=f(x+19/43)-f(x+12/42)
````````````````=……=f(x+49/42)-f(x+42/42).
即f(x+42/42)-f(x)=f(x+49/42)-f(x+7/42)……(1)
同样,有
f(x+7/42)-f(x+1/42)=f(x+14/42)-f(x+8/42)
```````````````````=f(x+21/42)-f(x+15/42)
```````````````````=……=f(x+49/42)-f(x+43/42)-f(x)
即f(x+49/42)-f(x)=f(x+43/42)-f(x+1/42)……(2)
由(1)(2),得
f(x+42/42)-f(x)=f(x+43/42)-f(x+1/42)
```````````````=f(x+44/42)-f(x+2/42)
```````````````=……=f(x+84/42)-f(x+42/42),
即f(x+1)-f(x)=f(x+2)-f(x+1).
因此,f(x+n)=f(x)+n[f(x+1)-f(x)]对所有n∈N成立.
又因为对所有x∈R,|f(x)|≤1,即f(x)有界,故只有f(x+1)-f(x)≡0.
因此对所有x∈R,f(x+1)=f(x),即f(x)为周期函数.
已知f(x)是定义在R上的函数且f(x+2)=1+f(x)/1-f(x) 求证:f(x)是周期函数
已知f(X)是定义域在R上的函数,且f(x+2)=(1+f(x))/(1-f(x)).求证:f(x)是周期函数.
已知F(X)是定义在R上的偶函数,且F(1+X)=F(1-X),求证:F(X)是以2为周期的周期函数
已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)f(x)=1,求证:f(x)是周期函数.
已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)f(x)=1,且f(x)>0.(1)求证:f(x)是周期函数.求f(119
已知x(X不等于零)对于对f(x-1/2)=1/2+√ {f(x)-f^2(x)}都成立,求证f:(x)为周期函数
已知f(x+1)=-f(x-1)对任意实数x均成立,求证f(x)是周期函数,并求出其周期.
已知f(x+1)=f(x-1)对任意实数x均成立,求证:f(x)是周期函数,并求出其周期.
已知函数f(x)满足f(x+1)=[1+f(x)] / [1-f(x)],试问f(x)是周期函数吗?若是,请证明
已知定义在r上的偶函数f(x)满足f(x+2)f(x)=1.且f(x)>0.求证:f(x)是周期函数
来看看哈已知f(X)是实数集R上的函数.且对任意X∈R,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立求证f(x)是周期函数
已知定义在R上的偶函数f (x)满足f(x+1)=f(1-x).求证f(x)为周期函数