已知函数f（x）＝a∧x＋x²－xlna （1）求证：函数f（x）在（0,＋∞）上为增函数.（2）

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/18 11:09:50

已知函数f（x）＝a∧x＋x²－xlna （1）求证：函数f（x）在（0,＋∞）上为增函数.（2）
已知函数f（x）＝a∧x＋x²－xlna
（1）求证：函数f（x）在（0,＋∞）上为增函数.
（2）对任意的x1,x2∈［-1,1］,绝对值f（x1）－f（x2）≦e－1恒成立,求a的取值范围.主要第二问,急－~

I）证明：求导函数,可得f'（x）=axlna+2x-lna=2x+（ax-1）lna,
由于a＞1,∴lna＞0,当x＞0时,ax-1＞0,∴f'（x）＞0,故函数f（x）在（0,+∞）上单调递增．
（Ⅱ）令f'（x）=2x+（ax-1）lna=0,得到x=0,f（x）,f'（x）的变化情况如下表：
x（-∞,0）0（0,+∞）f'（x）-0+f（x）递减极小值1递增
因为函数y=|f（x）-t|-1有三个零点,所以f（x）=t±1共有三个根,即y=f（x）的图象与两条平行于x轴的直线y=t±1共有三个交点．
y=f（x）在（-∞,0）递减,在（0,+∞）递增,极小值f（0）=1也是最小值,当x→±∞时,f（x）→+∞．
∵t-1＜t+1,∴f（x）=t+1有两个根,f（x）=t-1只有一个根．
∴t-1=fmin（x）=f（0）=1,∴t=2．（9分）
（Ⅲ）问题等价于f（x）在[-1,1]的最大值与最小值之差≤e-1．
由（Ⅱ）可知f（x）在[-1,0]上递减,在[0,1]上递增,
∴f（x）的最小值为f（0）=1,最大值等于f（-1）,f（1）中较大的一个,
f(-1)=1/a+1+lna

,f（1）=a+1-lna,f(1)-f(-1)=a-
1a
-2lna,
记g(x)=x-
1x
-2lnx,（x≥1）,则g′(x)=1+
1x2
-
2x
=(
1x
-1)2≥0（仅在x=1时取等号）
∴g(x)=x-
1x
-2lnx是增函数,
∴当a＞1时,g(a)=a-
1a
-2lna＞g(1)=0,
即f（1）-f（-1）＞0,∴f（1）＞f（-1）,
于是f（x）的最大值为f（1）=a+1-lna,
故对∀x1,x2∈[-1,1],|f（x1）-f（x2）|≤|f（1）-f（0）|=a-lna,∴a-lna≤e-1,
当x≥1时,(x-lnx)′=
x-1x
≥0,∴y=x-lnx在[1,+∞）单调递增,
∴由a-lna≤e-1可得a的取值范围是1＜a≤e．

已知函数f(x)=ae^x-1/2x^2 1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值；2）若a=1,求证：x>0时,f(x 已知函数fx=a^x+x²-xlna,a＞1,（1）证明fx在(0,正无穷)上单调递增（2）函数y= 已知函数f（x）=x²-3x+2 （1）证明函数y=f（x）在（1,+∞）上为增函数? 已知函数f(x)＝x²+a/x(x≠0,常数a∈R）,若函数f(x)在[2,+∞）上为增函数,求实数a的取值范已知定义在（0,+00）上的函数f(x)为增函数,且f(x)*f[f(x)+1/x]=1,则f(1)等于求函数f(x)=a^n(a>0,a不等于1）的导数.图中f'(x)=a^xlna怎么由上一步的来? 已知函数f(x)=x^2+a/x(x≠0,常数a∈R). 若函数f(x)在x∈[2,+∞）上为增函数,求a的范围已知f(x)在定义域（0,＋∞）上为增函数,f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1,解不等式f(x)+f(x-2) 已知函数f（x）=x²+a/x（x≠0,常数a∈R）若f（x）在x∈[2,+∞）上为增函数,求a的取值范围已知函数f(x)=x+2-x，求证：f（x）在(-∞，74)上是增函数．已知定义域为r的函数fx满足.f{f(x)－x＋x)＝f(x)－x＋x ①若f(2)=3求f(1)又若f（0）=a,求f 已知函数f（x）＝kf（x＋2）其中k为负数,且f（x）在区间[0,2]上有表达式f（x）＝x（x－2）（1）求f（-1