讨论函数 f(x)={[(1+x)^(1/x)]/e}^(1/x),x>0 =e^(-1/2),x≤0 在点x=0的连续
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/02 22:27:43
讨论函数 f(x)={[(1+x)^(1/x)]/e}^(1/x),x>0 =e^(-1/2),x≤0 在点x=0的连续性
这道题在求limx趋近于0+的时候,为啥不能先把(1+x)^1/x 等价为e呢?这样做为啥不对呢?
这道题在求limx趋近于0+的时候,为啥不能先把(1+x)^1/x 等价为e呢?这样做为啥不对呢?
因为 (1+x)^(1/x)在x-->0+ 时
等于e + 无穷小量,而无穷小量的无穷大次幂(1/x是无穷大)是很难界定是否有界的,所以不能够先求解.
这类题目求解得最好方法就是:
(1)指数型A^B转化为exp{BlnA} == exp{lnA/(1/B)}分数型
(2)然后使用洛必达法则,对分子分母同时求导,直到为无穷小都可以忽略.
本题中:
x>0,f(x) = exp{1/x * ln[(1+x)^(1/x)/e]}=exp{[ln(1+x)-x]/x^2}
指数内部是0/0型
洛必达准则,f(0+)= lim exp{[ln(1+x)-x]/x^2} = exp{lim{[ln(1+x)-x]/x^2}}
= exp { lim [1/(1+x)-1]/(2*x)} = e(-0.5)
再问: 但是那个是公认的等价无穷小啊,有什么不对的?你不能否定吧?
再答: 你说的没有错,(1+x)^(1/x)在x-->o+时等于e,这仅仅是是针对这一个极限等式来的 它的含义是什么呢? 在数学上,它可以表示为: (1+x)^(1/x) = e +o(e),等式右边就是一个无穷小量,相对e而言。 但是在本题中, 此时的中括号内部就等于 1+o(1),它也是一个无穷小量,相对1而言。 如果直接省略掉这个无穷小量,这里就会出现问题,因为无穷小量的无穷大次幂是不确定的。 实际上,如果你已经学习过了无穷级数,或者泰勒级数展开,再来看这个题目,对极限的d-e语言定义就会有更深刻的理解。
等于e + 无穷小量,而无穷小量的无穷大次幂(1/x是无穷大)是很难界定是否有界的,所以不能够先求解.
这类题目求解得最好方法就是:
(1)指数型A^B转化为exp{BlnA} == exp{lnA/(1/B)}分数型
(2)然后使用洛必达法则,对分子分母同时求导,直到为无穷小都可以忽略.
本题中:
x>0,f(x) = exp{1/x * ln[(1+x)^(1/x)/e]}=exp{[ln(1+x)-x]/x^2}
指数内部是0/0型
洛必达准则,f(0+)= lim exp{[ln(1+x)-x]/x^2} = exp{lim{[ln(1+x)-x]/x^2}}
= exp { lim [1/(1+x)-1]/(2*x)} = e(-0.5)
再问: 但是那个是公认的等价无穷小啊,有什么不对的?你不能否定吧?
再答: 你说的没有错,(1+x)^(1/x)在x-->o+时等于e,这仅仅是是针对这一个极限等式来的 它的含义是什么呢? 在数学上,它可以表示为: (1+x)^(1/x) = e +o(e),等式右边就是一个无穷小量,相对e而言。 但是在本题中, 此时的中括号内部就等于 1+o(1),它也是一个无穷小量,相对1而言。 如果直接省略掉这个无穷小量,这里就会出现问题,因为无穷小量的无穷大次幂是不确定的。 实际上,如果你已经学习过了无穷级数,或者泰勒级数展开,再来看这个题目,对极限的d-e语言定义就会有更深刻的理解。
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