积分求导题.

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/14 21:18:22

积分求导题.

1.∫xsin＾2xdx=1/4∫2xsin＾2xd2x
令t=2x
=1/4∫tsin＾tdt=1/4(sint-tcost)
因此
∫xsin＾2xdx=1/4(sin2x-2xcos2x)
2.令a=(1-x)立方根
x=1-a³
dx=-3a²da
原式=∫a(1-a³)²(-3a²)da
=-3∫(a^9-2a^6+a³)da
=-3a^10/10+6a^7/7-3a^4/4+C
=-3(1-x)^(10/3)/10+6(1-x)^(7/3)/7-3(1-x)^(4/3)/4+C
3.y'=n(sinx)^(n-1)cosxcosnx-nsinnx(sinx)^n
=n(sinx)^n-1)(cosxcosnx-sinnx)
4.y = xln[x + √(1 + x²)] - √(1 + x²)
y' = ln[x + √(1 + x²)] + x • 1/[x + √(1 + x²)] • {1 + 2x/[2√(1 + x²)]} - 2x/[2√(1 + x²)]
= ln[x + √(1 + x²)] + x/[x + √(1 + x²)] • [x + √(1 + x²)]/√(1 + x²) - x/√(1 + x²)
= ln[x + √(1 + x²)] + x/√(1 + x²) - x/√(1 + x²)
= ln[x + √(1 + x²)]
再问：第一个，.∫xsin＾2xdx=1/4∫2xsin＾2xd2x 有点问题哦，sin^2x=（sinx）^2不是sin2x
再答： ∫xsin²x dx =∫x*(1-cos2x)/2 dx，利用三角函数恒等式cos2x=1-2sin²x =(1/2)∫x dx - (1/2)∫xcos2x dx =(1/2)(x²/2) - (1/2)(1/2)∫xcos2x d(2x)，凑微分 =x²/4 - (1/4)∫x d(sin2x)，凑微分 =x²/4 - (1/4)[xsin2x - ∫sin2x dx]，分部积分法 =x²/4 - (1/4)[xsin2x - (1/2)∫sin2x d(2x)]，凑微分 =x²/4 - (1/4)[xsin2x - (1/2)(-cos2x)] + C =x²/4 - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C
再问：最后一步=x²/4 - (1/4)xsin2x + (1/8)cos2x + C，谢谢

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