求大虾证:〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2=〔1^3+2^3+3^3+…+(N-2) ^3+(N-1)
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/22 11:30:44
求大虾证:〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2=〔1^3+2^3+3^3+…+(N-2) ^3+(N-1) ^3+N ^3〕,其中N为正整数.
即要证明正整数的(和的平方)等于正整数的(立方和).
即要证明正整数的(和的平方)等于正整数的(立方和).
根据
(A+B)^2=A^2+B^2+2AB
以及
〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕=N*(1+N)/2=(N+N^2)/2
可进行以下推导:
〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*1*〔2+3+4+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*2*〔3+4+5+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*3*〔4+5+6+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+…
+2*(N-3)* 〔(N-2) +(N-1)+N〕
+2*(N-2) *〔(N-1)+N〕
+2*(N-1)*N
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*1*{〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕-1}
+2*2*{〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕-(1+2)}
+2*3*{〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕-(1+2+3)}
+…
+2*(N-3) *{〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕–〔(1+2+3 +…+(N-5)+(N-4)+(N-3)〕}
+2*(N-2) *{〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕–〔(1+2+3 +…+(N-4)+(N-3)+(N-2)〕}
+2*(N-1)* {〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕–〔(1+2+3 +…+(N-3)+(N-2)+(N-1)〕}
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*1*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*3*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+…
+2*(N-3) *〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*(N-2) *〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*(N-1)* 〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
-2*1*1
-2*2*(1+2)
-2*3(1+2+3)
-…
-2*(N-3) *〔(1+2+3 +…+(N-5)+(N-4)+(N-3) 〕
-2*(N-2) *〔(1+2+3 +…+(N-4)+(N-3)+(N-2)〕
-2*(N-1)* 〔(1+2+3 +…+(N-3)+(N-2)+(N-1)〕
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)〕
-2*1*〔1+1^2/2〕-2*2*〔2+2^2/2〕-2*3*〔3+3^2/2〕
-…
-2*(N-3) *〔(N-3)+(N-3) ^2/2〕
-2*(N-2) *〔(N-2)+(N-2) ^2/2〕
-2*(N-1) *〔(N-1)*+(N-1) ^2/2〕
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2-2*N*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
-(1^2+1^3) -(2^2+2^3) -(3^2+3^3)
-…
-〔(N-3) ^2+(N-3) ^3〕-〔(N-2) ^2+(N-2) ^3〕-〔(N-1) ^2+(N-1) ^3〕
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2-(N^2+N^3)
-〔1^2+2^2+3^2+…+(N-3) ^2+(N-2) ^2+(N-1) ^2〕
-〔1^3+2^3+3^3+…+(N-3) ^3+(N-2) ^3+(N-1) ^3〕
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2
-〔1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N ^2〕
-〔1^3+2^3+3^3+…+(N-2) ^3+(N-1) ^3+N ^3〕
=
2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2-〔1^3+2^3+3^3+…+(N-2) ^3+(N-1) ^3+N ^3〕
由上可知:
〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2=〔1^3+2^3+3^3+…+(N-2) ^3+(N-1) ^3+N ^3〕
(A+B)^2=A^2+B^2+2AB
以及
〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕=N*(1+N)/2=(N+N^2)/2
可进行以下推导:
〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*1*〔2+3+4+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*2*〔3+4+5+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*3*〔4+5+6+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+…
+2*(N-3)* 〔(N-2) +(N-1)+N〕
+2*(N-2) *〔(N-1)+N〕
+2*(N-1)*N
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*1*{〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕-1}
+2*2*{〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕-(1+2)}
+2*3*{〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕-(1+2+3)}
+…
+2*(N-3) *{〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕–〔(1+2+3 +…+(N-5)+(N-4)+(N-3)〕}
+2*(N-2) *{〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕–〔(1+2+3 +…+(N-4)+(N-3)+(N-2)〕}
+2*(N-1)* {〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕–〔(1+2+3 +…+(N-3)+(N-2)+(N-1)〕}
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*1*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*3*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+…
+2*(N-3) *〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*(N-2) *〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*(N-1)* 〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
-2*1*1
-2*2*(1+2)
-2*3(1+2+3)
-…
-2*(N-3) *〔(1+2+3 +…+(N-5)+(N-4)+(N-3) 〕
-2*(N-2) *〔(1+2+3 +…+(N-4)+(N-3)+(N-2)〕
-2*(N-1)* 〔(1+2+3 +…+(N-3)+(N-2)+(N-1)〕
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)〕
-2*1*〔1+1^2/2〕-2*2*〔2+2^2/2〕-2*3*〔3+3^2/2〕
-…
-2*(N-3) *〔(N-3)+(N-3) ^2/2〕
-2*(N-2) *〔(N-2)+(N-2) ^2/2〕
-2*(N-1) *〔(N-1)*+(N-1) ^2/2〕
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2-2*N*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
-(1^2+1^3) -(2^2+2^3) -(3^2+3^3)
-…
-〔(N-3) ^2+(N-3) ^3〕-〔(N-2) ^2+(N-2) ^3〕-〔(N-1) ^2+(N-1) ^3〕
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2-(N^2+N^3)
-〔1^2+2^2+3^2+…+(N-3) ^2+(N-2) ^2+(N-1) ^2〕
-〔1^3+2^3+3^3+…+(N-3) ^3+(N-2) ^3+(N-1) ^3〕
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2
-〔1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N ^2〕
-〔1^3+2^3+3^3+…+(N-2) ^3+(N-1) ^3+N ^3〕
=
2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2-〔1^3+2^3+3^3+…+(N-2) ^3+(N-1) ^3+N ^3〕
由上可知:
〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2=〔1^3+2^3+3^3+…+(N-2) ^3+(N-1) ^3+N ^3〕
证明不等式:(1/n)^n+(2/n)^n+(3/n)^n+.+(n/n)^n
求极限Xn=n/(n^2+1)+n/(n^2+2)+n/(n^2+3)+……+n/(n^2+n),
(1/(n^2 n 1 ) 2/(n^2 n 2) 3/(n^2 n 3) ……n/(n^2 n n)) 当N越于无穷大
[3n(n+1)+n(n+1)(2n+1)]/6+n(n+2)化简
1 + (n + 1) + n*(n + 1) + n*n + (n + 1) + 1 = 2n^2 + 3n + 3
化简(n+1)(n+2)(n+3)
证明(1+2/n)^n>5-2/n(n属于N+,n>=3)
若n²+3n=1,求n(n+1)(n+2)+1的值.
1\n(n+3)+1\(n+3)(n+6)+1\(n+6)(n+9)=1\2 n+18 n为正整数,求n的值
计算:n(n+1)(n+2)(n+3)+1
lim[(n+3)/(n+1))]^(n-2) 【n无穷大】
当n为正偶数,求证n/(n-1)+n(n-2)/(n-1)(n-3)+...+n(n-2).2/(n-1)(n-3)..