已知P(x,y)是圆x²+y²=2y上的动点,

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/09/21 19:33:18

已知P(x,y)是圆x²+y²=2y上的动点,
⑴求2x+y的取值范围；
⑵若x+y+a≥0恒成立,求实数a的取值范围.

x²＋y²＝2y ===>x²＋(y－1)²＝1
这表示的是以点(0,1)为圆心,半径为1的圆
⑴设z＝2x＋y,求z的取值范围
y＝－2x＋z
这是斜率为－2,纵截距为z的一组平行直线系
当纵截距有最值时,即z有最值.
显然,直线y＝－2x＋z与圆相切时,z有最值
d＝|1－z|/√5＝1
∴z＝1－√5或z＝1＋√5
∴1－√5≤z≤1＋√5
即2x＋y∈[1－√5,1＋√5].
⑵x＋y＋a≥0恒成立 ===>x＋y≥－a恒成立
则只需x＋y(min)≥－a即可
方法同上,可求得x＋y(min)＝1－√2
∴－a≤1－√2
则a≥√2－1
∴a的取值范围为[√2－1,＋∞).
再问： d＝|1－z|/√5＝1 为什么？d=|2x+y-z|/√5我知道
再答：既然相切，那么圆心到直线的距离等于半径就可以得到上面的式子，进而求z，再求z的范围了。
再问： 2x+y=1为什么
再答：看来你学的不够深入呀~~ 点到直线的距离公式是：[点(x0，y0)，直线Ax＋By＋C＝0] d＝|Ax0＋By0＋C|/√[A²＋B²] 上面圆心(0，1)，直线2x＋y－z＝0 则d＝|2*0＋1*1－z|/√[2²＋1]＝|1－z|/√5.

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