证明存在m,使得1988|(m*3^n-1),其中n=100
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/22 08:25:42
证明存在m,使得1988|(m*3^n-1),其中n=100
一楼的方法很不错,但这是数学分析函数一节的题,能不能不用高等代数中常用的方法。
一楼的方法很不错,但这是数学分析函数一节的题,能不能不用高等代数中常用的方法。
证明一:1988=4*7*71
(1988,3^100)=1,存在整数 a、b 使得 1988a+(3^100)b=1,取m=b ,
1988|(m*3^100-1 )
其实有无穷多个m使得1988|(m*3^n-1),其中n=100.而绝对值最小的一个是
m=-467 ,以下给出证明:
欧拉函数:φ(n)=k ,k为n前面与n互质的数的个数.
欧拉定理:当(m,n)=1时,m^φ(n)≡1(modn)
证明二:1988=4*7*71
只需证明存在无穷多个m,使m*100^3-1同时被4,7,71整除.
m*3^100-1≡m(4-1)^100-1≡m-1(mod4) ,①
由欧拉定理3^6≡1(mod7)
m*3^100-1≡m*(3^6)^16*3^4≡4m-1 (mod7) ,②
由欧拉定理3^70≡1(mod71)
m*3^100-1≡m*3^30-1≡m*3^(4*7)*9-1≡m*10^7*9-1
≡m*19*36≡45m-1(mod71) ,③
在①中令m=4k+1代入②
k≡2(mod7) ,④
m=4k+1代入③
4*45k≡-44(mod71)
45k≡-11(mod71)
45k≡60(mod71)
3k≡4(mod71) ,⑤
72=71+1=4*18
4=4*4*18-4*71 代入⑤:
k≡25(mod71) ⑥
结合④⑥
k≡2(mod7) ,④
k≡25(mod71) ,⑥
由中国剩余定理:
M1=71,M2=7
M(-1,1)=1 ,M(-1,2)=-10 ,M(-x,y)表示M的上标为-x,下标为y.
k=71*1*2+7*(-10)*25+t1*7*71 ,(t1为整数)
k=-117+497t ,(t也为整数)
m=-467+1988t ,(t为整数)
当然有
m-1≡0(mod4)
4m-1≡0(mod7)
45m-1≡0(mod71)
即:m=-467+1988t ,(t为整数)为所求.
(1988,3^100)=1,存在整数 a、b 使得 1988a+(3^100)b=1,取m=b ,
1988|(m*3^100-1 )
其实有无穷多个m使得1988|(m*3^n-1),其中n=100.而绝对值最小的一个是
m=-467 ,以下给出证明:
欧拉函数:φ(n)=k ,k为n前面与n互质的数的个数.
欧拉定理:当(m,n)=1时,m^φ(n)≡1(modn)
证明二:1988=4*7*71
只需证明存在无穷多个m,使m*100^3-1同时被4,7,71整除.
m*3^100-1≡m(4-1)^100-1≡m-1(mod4) ,①
由欧拉定理3^6≡1(mod7)
m*3^100-1≡m*(3^6)^16*3^4≡4m-1 (mod7) ,②
由欧拉定理3^70≡1(mod71)
m*3^100-1≡m*3^30-1≡m*3^(4*7)*9-1≡m*10^7*9-1
≡m*19*36≡45m-1(mod71) ,③
在①中令m=4k+1代入②
k≡2(mod7) ,④
m=4k+1代入③
4*45k≡-44(mod71)
45k≡-11(mod71)
45k≡60(mod71)
3k≡4(mod71) ,⑤
72=71+1=4*18
4=4*4*18-4*71 代入⑤:
k≡25(mod71) ⑥
结合④⑥
k≡2(mod7) ,④
k≡25(mod71) ,⑥
由中国剩余定理:
M1=71,M2=7
M(-1,1)=1 ,M(-1,2)=-10 ,M(-x,y)表示M的上标为-x,下标为y.
k=71*1*2+7*(-10)*25+t1*7*71 ,(t1为整数)
k=-117+497t ,(t也为整数)
m=-467+1988t ,(t为整数)
当然有
m-1≡0(mod4)
4m-1≡0(mod7)
45m-1≡0(mod71)
即:m=-467+1988t ,(t为整数)为所求.
是否存在正整数m,n,使得m(m+2)=n(n+1)?
设r(Am*n)=m,证明:存在秩为m的n*m矩阵B,使得AB=E
(1)是否存在正整数m,n,使得m(m+2)=n(n+1)?
是否存在正整数m,使得f(n)=(2n+7)•3n+9对任意正整数n都能被m整除?若存在,求出最大的m值,并证明你的结论
1.是否存在大于1的正整m数使得f(n)=n^3+5n对任意正整数n都能被m整除?
是否存在大于1的正整数m,使得f(n)=(2n+7)·3^n+9对任意正整数n都能被m整除?
是否存在正整数m,使得f(n)=(2n+7)*3^n+9对任意自然数n都能被m整除.若存在,求出最大的m值
设A为秩为m的m×n型矩阵,证明:存在秩为m的 n×m型矩阵B,使得AB=E
已知数列{an}满足a1=m,3an+1=2an+5n,其中m为实数,且m≠2/5,n为正整数.①上否存在k、b,使得数
已知f(n)=(2n+7)×3^n +9 ,是否存在自然数m,使得对任意n∈N*,都能使m整除f(n)?
证明:不存在整数m,n,使得n^2+(n+1)^2=m^2+2这个等式成立
矩阵唯一的证明题:设A是m*n阶矩阵,如果存在G(也是m*n阶矩阵)使得(1)AGA=A;(2)GAG=G;(3)(AG