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设直角梯形abcd,da垂直于ab,在两平行边AB,DC上有两个动点p,q直线pq平分梯形的面积,求证:

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/16 18:19:36
设直角梯形abcd,da垂直于ab,在两平行边AB,DC上有两个动点p,q直线pq平分梯形的面积,求证:
p,q必过一个定点,
设直角梯形abcd,da垂直于ab,在两平行边AB,DC上有两个动点p,q直线pq平分梯形的面积,求证:
才看到这样一个很有意思的问题
证明:
不妨设DC是上底,AB是下底
作梯形ABCD的中位线MN,交PQ于点E
因为P、Q分别在梯形ABCD的两个底边上
所以四边形APDQ和四边形BPQC也是梯形
显然,E是PQ的中点
所以ME和NE分别是梯形APDQ和梯形BPQC的中位线
所以2ME=DQ+AP,2NE=CQ+BP
因为S梯形APQD=S梯形BPQC,而AD是梯形ABCD的高
所以(DQ+AP)*AD/2=(CQ+BP)*AD/2
所以DQ+AP=CQ+BP
所以ME=NE
所以E是MN的中点
因为MN是梯形ABCD的中位线
所以E是定点
因为E是PQ上的点
所以PQ一定过定点E
江苏吴云超解答 供参考!