大师作文网一道IMO的函数数学题
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/13 11:05:52
一道IMO的函数数学题
设f是 一个从实数集R映射到自身的函数,并且对任何的x∈RJ均有f(x)的绝对值≤1以及f(x+13/42)+f(x)=f(x+1/6)+f(x+1/7) 求证 f（x)是周期函数
设f是 一个从实数集R映射到自身的函数,并且对任何的x∈RJ均有f(x)的绝对值≤1以及f(x+13/42)+f(x)=f(x+1/6)+f(x+1/7) 求证 f（x)是周期函数
对f(x+13/42)+f(x)=f(x+1/6)+f(x+1/7)变形得：
f(x+1/6)-f(x)=f(x+1/6+1/7)-f(x+1/7)
使用叠代,连续使用x'=x+1/7六次,可得：
(1) f(x+1/6)-f(x)=f(x+1/6+1)-f(x+1)
再使用叠代,连续使用x'=x+1/6五次,得到下列式子：
(2) f(x+2/6)-f(x+1/6)=f(x+2/6+1)-f(x+1/6+1)
(3) f(x+3/6)-f(x+2/6)=f(x+3/6+1)-f(x+2/6+1)
(4) ...
(5) ...
(6) f(x+1)-f(x+5/6)=f(x+1+1)-f(x+5/6+1）
把这6个式子加起来,中间得项都抵消了,只剩首尾得项,得：
f(x+1)-f(x)=f(x+2)-f(x+1)
周期函数得证明就简单了,假设f(x)=a,f(x+1)-f(x)=b,则：
f(x+1)-a=b
f(x+2)-f(x+1)=f(x+1)-f(x)=b
...
f(x+n)-f(x+n-1)=b
上式全加起来得：
f(x+n)-a=n*b => f(x+n)=a+n*b
反证法,假设b不等于0,则n足够大的时候一定可以使|a+n*b|>1,与题设矛盾,所以b=0
所以f(x+1)=f(x),周期是1.
f(x+1/6)-f(x)=f(x+1/6+1/7)-f(x+1/7)
使用叠代,连续使用x'=x+1/7六次,可得：
(1) f(x+1/6)-f(x)=f(x+1/6+1)-f(x+1)
再使用叠代,连续使用x'=x+1/6五次,得到下列式子：
(2) f(x+2/6)-f(x+1/6)=f(x+2/6+1)-f(x+1/6+1)
(3) f(x+3/6)-f(x+2/6)=f(x+3/6+1)-f(x+2/6+1)
(4) ...
(5) ...
(6) f(x+1)-f(x+5/6)=f(x+1+1)-f(x+5/6+1）
把这6个式子加起来,中间得项都抵消了,只剩首尾得项,得：
f(x+1)-f(x)=f(x+2)-f(x+1)
周期函数得证明就简单了,假设f(x)=a,f(x+1)-f(x)=b,则：
f(x+1)-a=b
f(x+2)-f(x+1)=f(x+1)-f(x)=b
...
f(x+n)-f(x+n-1)=b
上式全加起来得：
f(x+n)-a=n*b => f(x+n)=a+n*b
反证法,假设b不等于0,则n足够大的时候一定可以使|a+n*b|>1,与题设矛盾,所以b=0
所以f(x+1)=f(x),周期是1.